vector field에서 line integral할 때는 tangent vector를 쓰고
surface integral할 때는 normal vector를 쓰는데
왜 둘이 다른 벡터를 쓰는 건가요?
surface integral은 flux를 계산하기 위해 normal vector를 쓰는 걸로 알고 있는데 line integral에서도 flux 비슷한 걸 구하기 위해 normal vector를 쓸 수 있지 않나요
그런데 line integral의 차원을 확장한 것은 본질적으로 surface integral 같아 보여서 잘 모르겠습니다
추가: 찾아보니 line의 flux를 구하기 위해 normal vector를 쓰는 integral도 있네요. 반대로 기존의 line integral은 flow를 구하는 적분이고요. 그럼 line에서는 어째서 flow가 flux보다 integral의 정의로 더 적합한지 궁금합니다
정확히 말하면 선적분 면적분은 벡터장을 적분하는 게 아니라 differential form을 적분하는 걸로 봐야 자연스러운데 2-form이 3차원에서는 normal field에 대응되어서 그럼
differential form을 다룰 때 line은 flow, surface는 flux가 자연스럽게 대응돼서 그런 것이군요
x축을 따라 벡터장을 적분한다고 해봐요. normal vector는 y축인가요? 아니면 z축의 음의방향인가요?
c.urvature가 0인 c.urve는 flux integral이 정의가 안 되는 반면 line integral (flow)은 잘 정의가 되기 때문이라고 보면 되나요?
네. 모든 선에 대해 정의가 안되는데 선적분이라고 하긴 이상하니까요. 적분한번이 +1, 미분한번이 -1 이라는식으로 생각하면 tangent vector 는 -1 이고 normal vector는 -2 잖아요? 곡선 r(t) 에 대해 선적분할 때 피적분함수가 1이라면, 적분결과는 당연히 r(b)-r(a) 가 나와야 flow라고 부르기 자연스럽지 않을까요? r'(b)-r'(a) 같은게 나오는건 이상하잖아요 단위도 안맞을거고
line integral에서 flux를 계산한다는건 평면위에서의 곡선에서만 가능합니다. 반면에 tangent vector를 이용하면 임의의 차원에서 가능해요. 휘어있는 공간에서의 적분은 접선 또는 접면에서의 값들을 전부 더하는거라 생각할 수 있는데, 3차원 공간 안에서 surface는 접면이 normal vector를 만들어내고, 그 접면에서의 값을 normal vector와 내적한 값으로 계산할 수 있어요. 만약 4차원 공간 안에서의 곡면이 있다면, 이경우에는 normal vector를 사용할 수 없습니다.