다음을 합집합해서 만들어진 열린 덮개에는 [0,1]을 덮을 수 있는 유한부분덮개가 없다고 생각합니다
{(-0.1. 0.1)}
(0, 1)을 덮는 무한열린덮개
(0.9, 1.1)
질문입니다
1. 제가 만든 것이 열린덮개인가요?
2. 컴팩트한 집합은 임의의 열린 덮개에 대해 그 덮개의 유한 덮개로 덮여야 하나요? 그렇다면 제가 만든 열린 덮개에 대해 그 덮개의 유한 덮개로 [0,1]을 덮을 수 있어야 하는 건가요?
3. 질문이 의미 없는 것 같다면 틀린 부분 직접 지적해주세요
감사합니다..
반례인 걸 보이려면 (0,1)의 무한열린덮개가 어떻게 생긴 녀석인지를 알아야지요. 간단한 예시로 (0,1)의 모든 열린 부분집합을 모았다고 생각하면 (0,1)이 있어서 유한덮개가 있습니다.
"(0,1)이 컴팩트하지 않으니 유한부분덮개가 없는 열린덮개를 잡을 수 있는 것 아닌가?" 하는 생각이셨던 것으로 보입니다. 본문의 경우는 (-0.1,0.1)과 (0.9,1.1)을 고를 수 있으니 사실상 [0.1,0.9]를 덮는 유한부분덮개를 찾을 수만 있으면 충분한데, 닫힌구간이 컴팩트하기때문에 모순은 없습니다.
이해해보려고 노력하겠습니다 감사합니다 ㅎ
(0,1)을 덮는 무한 덮개 안에는 반드시 유한개 만에 [0.05,0.95]를 덮을 수 있음. 따라서 유한 덮개로 커버 가능
감사합니다