16. 유한차원 벡터공간 V에서 정의된 선형 연산자 T에 대해,
(b)T의 특성다항식이 완전히 인수분해(split over)되면 점공간이 아닌 임의의 T 불변 부분공간은 T의 고유벡터를 포함한다.
이거 풀려고 했는데 막혀서 솔루션 보니까
T 불변 부분공간의 차원이 0이 아니니까 특성다항식의 차수가 1이상이라 성립한다고 하더라고
근데 납득이 안가네
구체적으로
T의 특성 다항식 f(t)=(a0-t)...(an-t) 라고 할 때,
고유벡터 v가 존재는 해야할테니(문제풀려면)
v에 대응하는 고유값 t=ai가 있을거고
T 불변 부분공간의 특성다항식 g(t)를 생각할 때, g(t)가 (t-ai)를 포함해야만 대응하는 고유벡터 v가 존재하여 불변 부분공간에 속하게 되는거 아닌가..?
(t-ai)를 포함하지 않으면 그런 고유벡터의 존재성을 보장할 수 없지 않나..?
Invariant subspace 위에 제한했을 때 minimal polynomial이 원래의 polynomial의 약수가 되어야 하고 따라서 원래의 characteristic polynomial의 약수가 됨. 따라서 subspace 위에서의 char poly도 원래 char poly의 약수이고 (linear factor를 공유하니까)
Invariant subspace 위에서의 char poly가 linear factor들로 완전히 분해되니까 eigenvalue가 존재함
나도 g(t)|f(t)인건 알고 있는데, 내가 궁금한건 본문에서 언급했듯, 임의의 invariant subspace는 eigenvalue에 대응하는 linear factor를 항상 인수로 가지게 되는가 그 존재성이 납득이 안감.
예를들어 고유값이 ai로 유일하고 이 때 f(t)=(a0-t)..(an-t)일 때 rstriction한 g(t)=(a0-t)..(a_(i-1)-t) 이런 형태일 순 없는거야? 내가 뭘 놓치는건지 모르겠네
Characteristic polynomial의 근은 항상 eigenvalue임