[일반] 질문 있습니다!

[익명(106.101)]

Cauchy 수열임을 보일 때 m, n >= N에서 m, n의 관계를 따로 생각하지 않아도 되는데

밑줄 친 부분에서 Cauchy 수열이 아님을 보일 때에는 왜 m, n의 관계를 설정해야 하나요?

[갱생실패리카(lillollool)]

정의의 진술이 그렇자늠. 코시수열이려면 m,n이 어떤 관계가있는 특수한케이스가 아닌 그냥 N이상인 모든경우에대해 부등식이 성립해야하는거고 그것의 부정을 보이려면 N이상마다 m,n이 가질수있는 어떤 특수한경우에서 부등식이 깨진다는걸 보여야하니까

[Oo(175.208)]

"모든 m,n에 대해 성립한다"를 부정하려면 "성립하지 않는 m,n이 있다"를 보여야 하고, 따라서 "어떤 m,n에 대해서는 성립하지 않는다"를 증명해야지. 본문에서는 여기서 한발 더 나갔는데 대개의 경우 성립하지 않는 m,n들 사이엔 무언가 밀접한 관계가 있곤하니까, 둘 사이의 관계를 잘 잡아서 성립하지 않는 예를 만들란거지.

[익명(182.225)]

귀류법 논리라고 생각하면 됨 "모든 x에 대해 f(x) > 0임을 반증하고 싶다" -> f(x) <= 0인 어떤 x를 찾으면 되겠구나

[익명(182.225)]

"각 e에 대해 어떤 N이 존재하여 N 초과인 모든 n, m에 대해 |x_n - x_m| <= e" 의 부정은 "어떤 e_0에 대해서는 어떤 N>0을 가져오더라도 N 초과인 어떤 n, m이 존재하여 |x_n - x_m| >= e_0"이기 때문

[코호몰로지(list5282)]

코시수열의 정의를 보면 모든 양수 e에 대해, 어떤 자연수 N이 존재하여, m, n > N이면 ~이다 임. 이때 "모든" 뒤에 나오는 "어떤"은 앞에 나오는 "모든"에 의존함.

[코호몰로지(list5282)]

너무 중요해서 한 번 더 말할게. 이때 "모든" 뒤에 나오는 "어떤"은 앞에 나오는 "모든"에 의존함. 그럼 이 사실을 염두에 두고 코시수열 정의를 부정해보면 어떤 양수 e가 존재하여 모든 자연수 N에 대해 m, n > N이고, ~가 아니다 임.

[코호몰로지(list5282)]

너무 중요해서 다시 한 번 말하겠음. 이때 "모든" 뒤에 나오는 "어떤"은 앞에 나오는 "모든"에 의존함. 그럼 여기서 N에 대해 n, m이 의존하기 때문에, n = N으로 택하고 m = N + 1로 택하면 m = n + 1이라서 n과 m 사이의 관계가 설정된 것임. 본문에 첨부되어 있는 사진의 윗부분에 m = n + 1로 설정해서 코시수열이 아닌 걸 보이는 과정이 한 사례이고.