V,W가 유한차원 실벡터공간이면
V,W는 동형 <=> dim(V)=dim(W) 라는데
<= 이걸 증명하고 싶음
책에서 동형, 동형사상 정의를
"선형 변환 T:V->W가 가역이면, 두 벡터공간 V,W는 동형이라고 합니다. 그리고 이러한 변환 T를 동형사상이라합니다." 라고 하는데
그럼 <=를 보이기 위해서
가역인 T가 존재함을 보이면 되잖아, 그러기 위해선 ker(T)=O 보이면 T가 전단사이라서 가역인 T가 존재할 수 있는데
v1,...,vn이 V가역이면 T(v1)...T(Vn)도 W의 가역이고
T(u)=0 이라고 할때 유일한 u=0만 존재함을 어떻게 보일 수 있는거야? T는 모르는 상태에서??
야매로 취미수학 하고 있어서
증명하는게 어렵네
너무어렵게생각하지말고 어차피 유한차원이잖음? 기저를 잘 활용해봐 V,W 각각 기저가있을거아님? 그리고 그 두 기저세트는...
ㅇㅇ 기저를 해서 보이는거 같은데T(O)=O = k1*T(v1) + ... + kn*T(vn)T(X)=O = k1*T(v1) + ... + kn*T(vn)T(vi)는 W의 기저이니 ki = 0인건 알겠는데X=O임을 어떻게 보일 수 있는거야??vi도 V의 기저이니 O = c1*v1 + ... + cn*vn 이 유일하다는건 맞고근데 T도 모르는데 어떻게 T(X)=O일 떄 유일한 X=O만 존재함을 어떻게 아는거지..
ㄴㄴㄴ 기저를 이용해서 T를 구성하는것부터 해봐 잘 구성해낸 다음 T가 전단사임만 보이면 됨
그냥 V의 기저를 W의 기저로 보내는 T를 만들고 그게 동형사상이 됨을 보이면 됨
T(vi) = wi 라 하면 (vi,wi는 각각 V,W의 기저) 걍 isomorphism임
V의 기저를 {v1,...,vn}으로 둘 때, 임의의 w1,...,wn in W 들에 대해 T(vi)=wi을 만족하는 선형변환은 유일하게 존재함을 이용해보자
다들 감사 T(vi)=wi (vi, wi는 각 V,W의 기저) 이라할때 T(u)=0이면 유일한 u=0를 보이면 되니 T(u = k1*v1+...+kn*vn) = k1*T(v1)+...+kn*T(vn) = 0 k1*T(v1)+...+kn*T(vn)에서 ki = 0이고 따라서 u = 0벡터 밖에 없다. 이렇게 하면될려나??
그럼 kernel이 0인건 보인거 맞아
빵점쳐맞겠구만 T가 왜 처음부터 선형사상이냐?
그럼 T가 선형사상이라는건 러떻게 보여야함?? 그냥 T(u+v)=Tu+Tv, Tku=kTu 이것도 보여야하나?
T가 선형변환인거 보이고싶으면 저기 vi를 wi로 보내는걸 이용해서 u+kw를 T(u)+kT(w)로 보내는걸 보이면 되고 이건 쉬움
rank nullity theorem을 이용하면 편함