[일반] 벡터를 R2에서 화살표로 쓰는 이유 이게 맞는거임?

[익명(106.247)]

선형대수 공부하다보면 개뜬금 좌표평면에 화살표박고 이게 벡터에요~ 하는게 너무 불편해서

찾아보고 고민해서 정리했는데 틀린거 지적좀 부탁함

벡터는 벡터공간의 원소일 뿐. 벡터공간 R2에서 벡터는 그냥 순서쌍임.

당연히 순서쌍을 화살표로 나타내는건 불가능

이 순서쌍에 내적을 정의해서 크기와 방향을 정의

크기와 방향이 정의되기 때문에 화살표로 그려도 무방함

R2는 사실 내적공간이므로 R2상에서 벡터를 화살표로 그냥 그려왔던거임.

이게 맞음??

[익명(211.234)]

화살표로 그릴 수 있는건 내적보단 단순히 실수가 ordered여서인듯. 복소수 C^1는 복소수 위에서 1차원 벡터공간이지만 1과 i는 서로 선형종속임

[Oo(175.208)]

엄밀히 따지자면 너가 말한 것처럼 R^2의 원소는 순서쌍이겠지. 하지만 벡터란 게 원래 화살표에서부터 시작한 거라 생각한다면, 화살표 하나 덧그리는 게 그렇게도 수학적으로 문제가 될 건 없는 것 같아.

[Oo(175.208)]

그리고 화살표로 그리는 걸 정당화하는 건 내적보다는 기저 선택으로 이해하는 게 더 자연스럽지. 평면에 있는 화살표들에 대해 시점을 특정 한 점으로 옮겨놓고, 그 점을 원점이라 부르고, 이후 x축, y축 잡아 화살표의 끝점을 읽으면 순서쌍 하나 나오잖아.

[Oo(175.208)]

이 때 x축 y축 잡는게 기준이 되는 화살표 즉 기저 잡아 순서쌍으로 표현하는거지. 결국 평면에 놓여 있는 (시점이 동일한 화살표들의 집합과 R^2의 순서쌍들의 집합은 벡터공간으로서 동일하게되지.

[Oo(175.208)]

이런 맥락에서 R^2 위의 순서쌍에 화살표를 그려대는 게 정당화될거야.

[익명(220.86)]

닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐 하는 부분이 있는거네. 수학적으로 접근해서 벡터공간의 원소가 벡터다. 하는 관점으로 보면 맞는말인데, 사실 따지고 보면 벡터공간이 물리에서 시작한걸 생각하면 평면상의 힘과 방향을 가진 객체에서부터 기저잡고 추상화한게 벡터공간이 되는 것일테고..취사선택이겠네

[갱생실패리카(lillollool)]

그렇게 그리는건 그냥 그사람 맘인데 그려놓고 x축 y축이 직선이니 축 둘이 직교하니 벡터는 크기와 방향을갖는 유향선분이니 그런얘기까지하려면 기하학적 구조를 얘기해야하는게아닌지

[카카오M(kakaothh)]

공간상에 화살표 그리고 벡터라고 부르는건 사실 단순하게 R2의 벡터가 아니고, 탄젠트 벡터... 내적공간의 원소만 화살표로 표기하는건 아니에요, 벡터는 벡터공간의 원소이지만 그 기원은 R^2또는 R3의 순서쌍에서 온다는것을 잊으면 안되요. 우리의 고향일 잃어버리면 안됨...

[수갤러 1(211.234)]

선대군 ㅋㅋㅋ

[익명(106.102)]

그 기원은 R2 또는 R3의 순서쌍에서 온다는 것을 잊으면 안되요. 이 부분 설명좀 더 자세히부탁드러요 ㅠ 화살표로 나타내는게 안와닿는거 자체가 벡터는 그냥 순서쌍인 원소일뿐인데? 가 이유여서...

[Affine(algebra500)]

그냥 편해서 그런거지 1. 방향 2. 크기 3. 시점(화살표가 시작하는 점) 이 세 정1보를 화살표 하나로 딱 나타낼 수 있는데 어케참음

[Affine(algebra500)]

'벡터는 순서쌍일 뿐인데' 라는말 보고 댓글 더 다는데, 벡터공간의 기저를 잡아야 순서쌍으로 표현이 되는거잖음 일단 시점이 일치된 "화살표들" 이 벡터공간을 이룬다는건 알지않음? 님말대로 R²,R³, 더 나라가 n-순서쌍이 이루는 R^n 도 벡터공간의 예일 뿐이고 실수로 쌓아올려진 n차원 벡터공간은 결국 R^n 과 동형이니까 우리가그걸 같은 이름으로 부르는거지. R^n 안의 화살표 벡터공간도 마찬가지로 그들과 동형인데 왜 불편한지 이해되지않는부분임

[익명(106.102)]

시점이 일치된 화살표들이 벡터공간을 이룬다. < 이게 불편한거임. R2는 (1,0) (0,1)가 표준기저인데 이게 화살표로 표현된다는 당위가 없다는거임. 나는 대수적으로 접근해서 기하적으로 넘어가는 그 연결고리가 약해서 묻는거고. 표준기저가 화살표니까 표준기저로 연산해서 나온것도 화살표임. 이라고 말하는거면 내가 얘기하고자 하는거랑 다른 얘기임

[익명(106.247)]

대수적인 정의만 관찰하면 벡터공간, 벡터에서 시점이라는 단어도 안나옴. 표준기저도 마찬가지. 이렇게 접근하면 너무 추상적이니 직관 한스푼 더해서 시점, 화살표로 나타내는건데 그 한스푼에 뭔가 더 있는것 같다는거임

[Affine(algebra500)]

시점을 (0,0) 으로 하고 종점을 (1,0) 으로 하는 화살표와 시점을 (0,0) 으로 하고 종점을 (0,1) 으로 하는 화살표 둘이서 기저로서 작용해서 시점을 (0,0) 으로 하는 임의의 '화살표' 를 span 하고 그게 R을 체로해서 구성된 임의의 2차원벡터공간과 동형인데 뭐가 불편하다는거임

[Affine(algebra500)]

ㅇㅇ 화살표공간에는 추가적인 구조가 더 주어져있긴 함. R²의 각점에 대해 그 점을 시점으로 하는 '화살표 벡터공간' 을 붙여가지고 탄젠트벡터공간을 만들 수 있으니까

[익명(106.247)]

위키백과에 벡터공간이랑 표준기저 검색해보셈 시점, 종점, 화살표라는 말이 나옴?

[Affine(algebra500)]

화살표로 표현될 수 있는것에 충분해하는게 아니라 그렇게 할 당위가 필요한거라면 거기서부턴 본인의 취향문제인거같음..

[Affine(algebra500)]

그냥 화살표 벡터공간은 존재하지 읺는 벡터공간이라고 하늘가리고 살아도 됨ㅇㅇ 그건 본인이 알아서 할 문제임

[익명(106.247)]

어느정도 취향의 영역이라고 생각하고있긴함. 근데 위에있는 추가적인 구조가 주어져있다가 내가 하고싶은 얘기임. 화살표를 별다른 정의없이 써왔지만 사실은 R2에 추가적인 구조를 깔고 화살표를 그리는거라고 탄젠트벡터는 잘모르는 얘기라 그 구조가 탄젠트벡터인지는 모르겠는데

[익명(106.247)]

내가 하늘가리고 살거면 여기서 이러고 있겠음? ;; 내 관점과 일반적인 논리를 연결해서 가려진 하늘보려고 이러고 있지. 굳이 댓글 한번 더 달아서 뭔가 얘기하려는거 같아서 나도 답글단건데 그렇게 비아냥댈거면 걍 지나가

[Affine(algebra500)]

실수는 존재하지 않고 오직 computable number 만 존재한다고 생각하고 사는사람도 있는 세상인데 뭐.. 그게 이상한건 아니라고봄 단지 내가 님이 어떤부분에서 거부감이 오는지 충분히 공감이 안되서 뭐라고 더 말을 못하겠는데 언젠가 화살표를 써도된다는 당위가 보이면 좋겠넹

[Affine(algebra500)]

그거 썼다가 말이 좀 나빠서 빨리 지웠는데 그새봤네 미안하다 난 너 생각이 이해가 안돼서 하늘가리는거로 보였음

[익명(106.247)]

그럴수있지 뭐 나도 좀 예민했음 미안. 내 거부감이 어디서 비롯되는지 알아보려는거였는데 그냥 시비거는건줄 알았음. 이런 대화하면서 탄젠트공간에 대해 더 찾아보고 하면서 쌓아가는거니까 좋게 생각함

[Affine(algebra500)]

미안하니까 시점에 대해서 말을 조금만 하자면 벡터에 왜 시점이 필요하냐?? 라고 하면 사실 할말은 없음 언제나 필요한건 아니니까. 근데 미분이라는 특별한 상황에서만 보면 시점이 중요한게, 미분값이라는건 국소적인 성질이잖음. 가령 f'(a) 는 a근방의 f에 대한 정1보가 모여서 만들어진 값이니까 어쨌든 x=a 에 "꽂혀" 있는 값이라고 생각할 만 함. 그래서 우리가 x=a 근방에 선형근사해서 접선을 만들잖음. 함수의 차원이 올라가면 미분값이 숫자가 아니라 벡터가 되고, 그 미분값으로서의 벡터는 어느 점에서서 나온값인지 나타낼 필요가 있음. 그냥 그게 편하니까. 난 그걸 화살표의 시점을 이용해서 나타내는거라고 생각하고있음. 가령 곡선이 있으면 곡선의 탄젠트벡터를 곡선 위에 달라붙은 화살표로 그리는거처럼

[Affine(algebra500)]

가령 F라는 벡터장은 R²의 모든 점 위에 그런 '화살표' 들이 꽂혀있는거라고 생각할 수 있을거아님? 곡선r(t) 을 미분한 경우에는 R²가 아니라 곡선의 상 Im(r) 의 각 점에 화살표(탄젠트벡터)가 꽂혀있는 무언가를 생각할 수 있을거고, 곡면의 경우에도 비슷한 생각을 해본다면 머리카락이 자란 두피나 털이 자란 동물의 표면을 생각할수도 있을거고 결국 그런 화살표들의 모임끼리 더하고 내적하고도 할 수 있고 내적값으로 적분도 할수있고.... 물론 난 당위를 말하는게 아니라 편리하다고 호소하고있을뿐이긴 한데 암튼 난 그런면에서 화살표에 대한 효용을 느낀단거임

[수갤러 2(211.235)]

뭐 따지고 보면 좌표평면을 왜 수직으로 해야하는가? 부터 생각해 봐야 하지 않을까? (그러니까 우리가 좌표평면을 그릴 때 왜 순서기저를 { (1,0), (0,1) } 로 잡을까?) 글쓴이 주장처럼 생각해도 무방함. 내적이 주어지면 내적으로부터 노름을 정의해서 크기와 방향을 표현할 수도 있음.

[수갤러 2(211.235)]

그 순서쌍 이라는 것도 순서기저가 달라지면, 달라져야 하니까... 그런데 여러 댓글들이 말하는 것 처럼, R^{2} 같이 저차원 공간이라면, 역사적으로 볼 때, 수직선과 관련된 생각하다가 나온 개념이어서, 그렇게 표현하면 좋았고,(특히 물리 공부 하던 사람들이, 예전에는 물리하고 따고 공부하지 않았으니까) 별도로 따로따로 공부하다가 선형대수가 정립되면

[수갤러 2(211.235)]

다시 재정립 되었다는 표현이 맞겠네. 지수와 로그, 자연수와 음의 정수, 미분과 적분은 역사적으로 볼 때, 별개로 연구했었지만, 지금에 와서는 같이 배우는 것 처럼

[익명(58.231)]

아니 걍 화살표 시점 종점 크기 이런거 그대로 살리면서 벡터를 정의할수 있는데 그래봤자 결국 R^2와 동형임 위치벡터->이거 자체가 R^2와 동형이라는 의미임