코시수열에 공부하다가 궁금한 게 있어서 질문 드립니다. 좀 깁니다. 검색하다가 다음 질문을 보게 되었습니다.

해석학 코시수열 기초문제 질문좀여 - 수학 잘하는 법 마이너 갤러리


 '유사코시수열'를 임의의 양의 입실론에 대해 인덱스 값이 N이상일 때 인접한 항의 차이값이 입실론보다 작게 하는 N이 존재하는 수열로 정의할 때

틀린 명제인 유사코시수열이=>코시수열임을 보이려 한 잘못된 증명 시도였습니다.


질문1)

저 풀이가  틀린 이유가 N이 입실론에 의해서 결정되는 게 아니라, k값에 의해서도 변하기 때문 맞나요? 즉, ''모든'' 자연수 k에 대하여 각각의 절댓값/k를 모두 만족시키는 N을 유일하게 결정할 수 없기 때문이 맞나요? 만약 k값이 임의의 자연수가 아니라 하나의 값으로 정해져 있다고 가정한다면(ex.k=3) 저런 식으로 쪼개서 표현하는게 아무 문제 없는 것 맞나요? (물론 그렇게 되면 증명하는 게 유사코시수열(인덱스 차이1)=>코시수열이 아니라 유사코시수열(인덱스 차이1)=>유사코시수열(인덱스차이3)이 되겠지만 말이죠.)



의문점을 해소하기 위해 여러가지로 알아보던 중, 스택익스체인지에서 다음 질문글을 보게 되었습니다.


real analysis - Weaker version of Cauchy sequence criteria - Mathematics Stack Exchange

요지는 비슷한데,  위 디시글봐 비슷하게 an-an+k를 k개로 쪼개서 각각의 입실론들을 합하여 '약한' 코시수열조건을 세우는 게 가능한지 물어보는 것이었습니다.


질문2) 저 질문글의 댓글에서는 따로 지적을 하지 않은 것 같은데, 저기서도 보인게 "모든" 자연수 k에 대해서가 아니라 "어떤" 자연수 k에 대해 보인 것 아닌가요? 그래서 저는 저 글에서의 weak formulation은 모든 자연수 k에 대해 성립하는 코시수열 조건의 weak formulation이 아니라 인덱스가 k만큼 차이나는 유사코시수열의 weak formulation이 맞다고 생각하는데, 제 생각이 맞는지 궁금합니다. 


또한 만약 저게 임의의 모든 자연수 k에 대해 성립함을 보이려면 수학적 귀납법을 쓰려는 시도를 할 수밖에 없을 것 같은데, 이 상황에서  귀납법을 과연 쓸 수 있는지 궁금합니다.

만약 쓸수 없다면, 그 이유가 주어진 입실론 값에 따라서 N이 어떻게 결정되는지는 해당 수열이 구체적으로 어떤 수열인지에 의존하기 때문이고, 따라서 일반적인 수열에 관해 쓸 수 없기 때문이 맞는지도 궁금합니다.


질문3)저 글의 댓글을 보면, 입실론 차이들을 합한게  코시에서의 하나의 입실론보다 크다고 해서 그게 반드시 더 weak한 걸 뜻하는 건 아니라고 하는데 그 이유가 조화급수나 유계이지만 진동하는 수열와 같이 수렴하지 않는 유사코시수열 때문이 맞는지 궁급합니다. 즉, 저 질문글의 본문에서 보이려고 한 건 코시수열, 유사코시수열 모두에 해당하는 경우가 맞는지 궁금합니다.


읽어주셔서 감사합니다