[일반] 아래 기하학 문제 답 달아줌

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풀이과정 올릴테니 더 단순화 시켜주길 바람.

답이 640 맞네.

아 슈발 왜 이렇게 오래 그리고 멍청하게 힘들었던 거지?...

처음에 찍었던 예상이 맞았다.

몇가지 정의부터.

내심의 중심을 O,

AB의 중심을 M

PQ의 연장선과 RC의 연장선이 만나는 점을 Z라 하자

AB와 원의 접점을 D, AC와 원의 접점을 E라 하자 ㅇㅋ?

여기서 중간에 이용할 정리들

1. 각 RPZ=각 ZRP(내심 O에서 P와 R에 보조선 긋고, OP=OR=r 이용해서 이등변삼각형 나오니 당연하지?)

그래서 PZ=RZ 나옴.

2. 메넬라우스 적용

삼각형 ABR과 BZM에 대해 적용

(3/6)X(PZ/MP)X(BR/ZR) = 1

여기서 1번의 PZ=RZ 이용하면

MP:BR=1:2=k:2k

3. MP=MD, BR=BD로 부터 MP+BR=3k=3=BM

그래서 k=1, MD=1

4. AD=AE이므로 (한 점에서 원에 그은 두 접선) CD=1(5-1=4)

CD=CR=1

BR이 2k, 즉, 2이므로

BR+CR=3

여기까지 BM=BC=3임을 보였다.

B, Q에서 내심을 향해 그은 각각의 두 접선들의 교점까지 거리가 B에서 BM=BC=3이므로

QM=QC 일 것이고(대칭성에 의하여), BQ는 원의 내심 O를 지날 것이다.(증명 안할게)

5. BQ가 내접원의 중심을 지나므로

BO는 내접원 성질에 의해 각 ABC를 이등분하므로

6:3=AB:BC=AQ:QC=2:1

따라서 QC는 5/3. QD=2/3=PQ

6. 각 ACB에 대해 코사인 제 2법칙을 이용하여 (삼각형 ABC이용 코사인 값 계산, 그리고 나서 코사인 값,AC,CR 이용)

AR을 구한다.

AR값은 4x(루트 5/3) 나옴

따라서 PQXAR=K=8X(루트5) / 3X(루트3)

정답은 640이 맞음.

왤케 어렵냐.

그렇지만 수잘갤러에서 더 간단한 풀이가 출현할 것.

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