PMA 3단원쯤 보고있는데
2단원까지는 꽤 증명 열심히 써보고 문제도 다 풀었는데
3단원부턴 알던 내용 많이 나오기도 하고 그래서 증명 스케치가 떠오르면 대충 써보고만 넘어가고 있거든요.. 이렇게 계속해도 되나요?
예를들어 그 리만의 "non-absolutely converge하는 an에 대해서 rearrangement를 통해 그 어떤 limsup liminf 값도 갖도록 만들 수 있다." 이런거 정의할때
an은 반드시 무한개의 positive/negative term을 가져야 하고(아니면 모순되니까)
positive term만을 나열한 subsequence bn, negative만 나열한 수열 cn 정의하고 이때, 급수 bn과 급수 cn이 무한대로 감을 생각함. (한쪽만 무한대거나 둘다 수렴이면 조건위배)
우리가 원하는 limsup 값이 x, liminf 값이 y라고 할때
partial sum이 x 넘을때까지 bn의 항들 적다가 그다음부턴 cn 적고 y 밑으로 내려가면 다시 bn 항들 적고 이런식으로 했을때 partial sum이 무한히 x~y 부근을 진동하게 만들수 있음(bn cn 합이 무한대니까 충분히 많은 term 더하면 임의의 수 만들수 있으니..) 글구 bn cn 다 0으로 수렴하니까 x/y값 밖으로 조금씩 나가는 오차또한 0으로 수렴하기때문에 x와 y가 limsup liminf가 된다.
이런식으로 자연어로 슥 하고 넘어갔는데
이렇게 공부하면 망하나요:/.?
실제로 증명을 자연어로 생각해보는 건 꽤 도움이 됨 증명이 길면 길수록. 근데 엄밀하게 써보는 연습도 해야되지.
증명만 확실하면 문제될건 없고 그런 부분도 훈련해야 한다 봄 근데 스텝을 명확히 밟고 넘어가야지 저건 증명을 아는 상태에서 아이디어만 스케치한거에 불과함 직접 할때는 어디에 모순인지 convergence가 어디에 쓰였는지도 명확히 짚어야하고 limsup/inf 값이 +-inf일 때는 어떻게 되는지 등등 다 따져봐야함
내 경험담이지만, 눈으로만 보고 해도 공부는 충분히 됨. 스케치 그리면서 중간중간 논리적 갭 없는지 검토하고 채우고 하는게 손으로 안쓰고 할 수는 있음. 물론 아무리 머릿속으로 한다 해도 수학적 언어로 쓰는 게 좋음. 근데 그것만 하면 증명을 남들이 이해하게 쓰는게 어려움. 그건 결국 따로 연습해야됨.
공부를 처음 하는 단계면 몇개 정해서 자연어를 정확하게 증명으로 표현해보는 연습을 하는게 도움이 됨. 그걸 당연하게 할줄 알게되는게 목표이기도함
그냥 대충 이해할 정도면되는거 아닌가. 굳이 일일이 자기가 다시 써보면서 해야되는지는 잘 모르겟는데