[일반] 텐서 그냥 드라이하게 정의로 설명해줄사람 없냐?

[익명(211.244)]

그냥 텐서의 구성 요소를 수학적으로 정의해주면 됨

정의에 또다른 정의가 필요한 개념이 있다면 그것도 수학적으로 정의하면 됨

[갱생실패리카(lillollool)]

V위의 (k,l) 타입 텐서는 Vו••×V(k개)×V*ו••×V*(l개)에서 R로가는 multilinear function

[갱생실패리카(lillollool)]

정정. R이아니라 base field F로 가는

[갱생실패리카(lillollool)]

인데 얘랑 자연스럽게 동형인 벡터공간의 텐서곱으로 정의하는 방식도 있음. 대수는 잘 모르고 Lee SM 12장 ㄱㄱ 선형대수조금만알면 읽을수잇음

[익명(211.244)]

1.'V'가 뭐임? 2. V가 벡터나 수가 아니라면, 곱하기는 무엇을 뜻하고 어떻게 정의됨? 3. R이 뭐임? r이 아니면 base filed F는 뭐임? 체나 환이나 뭐 이런 개념으로 환원해서 정의해주면 거기서부터는 내가 찾아볼 수 있고

[익명(211.244)]

선형대수학에서 전부 새롭게 정의하는 개념들인가? 본 적이 없어서

[갱생실패리카(lillollool)]

1.V는 F-벡터공간. 2.곱하기는 데카르트곱. A×B는 aㅌA,bㅌB꼴의 (a,b)를 모두모아놓은 집합으로 정의됨. 여러개도 마찬가지. 3.R은 실수 전체의 집합. base field는 V의 스칼라곱을 정의할때 받아오는 스칼라들의 집합 체 F.

[갱생실패리카(lillollool)]

V*는 V의 dual space

[갱생실패리카(lillollool)]

수학과는 아니지싶은데 타분야책에서 본 설명은, 물리나 공학책들에서 읽은바로는 그사람들은 그냥 인덱스쌍마다 스칼라하나씩 대응되는 ''입체 행렬 같은거''라고 생각하기로 한다고 보임.(물리는뭐 깊게들어가면 거의 수학이랑 다름없의 정의하는거같긴하던데) 나도 타분야사람한테 얘기할만한 이 이상의 직관이나 동기부여는 없음.

[갱생실패리카(lillollool)]

행렬곱 비스무리하게 여러 내적같은 인덱스 줄이는 연산도 존재하고 외적(텐서곱)같은 인덱스 늘리는 연산도 존재함. 아무튼 되게 선형적인 연산들을 정의하고 사용하던. 기계과같은데 책 보니가. 거기선 선형적인 시스템? 규칙?을 표현하는 도구나 방법 같은걸로 사용한다고 느낌 전.

[갱생실패리카(lillollool)]

이거랑 내가적어둔 정의의 연관성은 V의 basis 가 주어지면 텐서들의 집합의 basis를 주어진 basis에 표준적으로 대응되게 잡을수가있는데 그때 텐서의 그 basis에대한 선형결합표현의 계수를 입체행렬비스무리한것으로 생각할수있음

[뉴비(175.116)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_modules#Definition
이게
defining property. over field 에서 벡터스페이스는 위 댓 말 그대로. 본질은 universal property인데 balanced product 인데 필드 위에서는 multilinearity

[Oo(175.208)]

대개 순서는 다음과 같다. 1. Vector space V, W에 대해 tensor product V ⊗W 정의 2. isomorphism V ⊗W -> L(V^* × W^*, k)가 존재함 따라서 tensor product는 bililear map으로 이해할 수 있음. 반대도 마찬가지.

[Oo(175.208)]

이 때 V ⊗W=(V× W)/<(v,u+w)-(v,u)-(v,w), (u+v,w)-(u,w)-(v,w), (rv,w)-(v,rw)>로 정의한다. 끝.

[Oo(175.208)]

쉽게는, 수학에서는 그냥 곱할 수 없는 것을 강재로 곱하는 게 텐서곱이야. 원래 덧셈과 상수배가 있던 녀석들이니, 곱셈이면 당연히 만족해야 할 분배법칙이 성립하도록 강제하는 곱셈을 정의한게 텐서곱이야. 그런데 때마침 그게 multilinear map으로 해석 가능함.

[Oo(175.208)]

추가로 분배법칙에 더해서 곱셈이면 상수배에 대해 (rx)y=r(xy) 이런 것들도 성립해야 하니 이것도 넣어준 거고. 즉, 벡터공간 각각이 갖고 있던 덧셈 상수배와 잘 어우러지는 곱셈을 정의하는게 텐서곱이야.