올해 수학과 신입생임.
‘자연수집합을 공리적으로 서술하기 위해서 어떠한 부분을 고려해야 하는가?’를 생각해보다가 책의 공리 1234는 반드시 필요하다는 사실을 알았는데, 공리 5는 어떤 부분에 있어서 반드시 필요한 서술인거임?
그러니까 공리 1234만으로도 우리가 아는 자연수 집합을 만들 수 있는거 아님? 1234만으로 수학적 귀납법(5번 공리)를 도출할 수는 없는거임? 공리 1234만으로 어떤 대수적 구조를 만들었을 때 그 구조는 어떤 부분에서 자연수와 다른것임?
뭔가 cardinality 때문인 것 같기도 하고…. 사실 잘 모름.
실수의 부분집합으로서의 N U (½+N) 은 1234만족하는데 5를만족안함. 이때 후임자는 (실수에서)1만큼큰수 로 정의함.
맞네…. chain이 유일해야하는구나. 감사합니다!
그리고 덧셈,곱셈,순서도 귀납적으로 정의하는거라 5번이꼭필요함.
페아노 공리계에서 induction을 빼면 많은 당연한 것들이 증명되지 않음(물론 consistent하다는 가정하에). Robinson arithmetic 에서는 더하기랑 곱셈의 결합법칙 교환법칙등, 그리고 “모든 수는 홀수 또는 짝수다“와 같은 논리식들도 증명 못함.
Robinson arithmetic에서는 모든 primitive recursive function이 representable하니까 괴델 beta function 도입해서 지수함수도 도입가능하겠지만 그것의 좋은 성질들을 증명 못함
그러니까 결론적으로 님 말대로 수학적 귀납법을 증명하지 못한다라고 할 수 있음
저거 좀 이상한데 내가 배운 버전은 0 포함하는건데 여기는 왜 1부터 시작함
1부터 시작하든가 0부터 시작하든가 크게 상관없음 근데 일반적으로는 0도 포함해서 공리계 설정함 그게 난 더 편한거 같더라고
그러니까 수학적 귀납법을 공리화하지 않으면, 대수적 구조로써 자연수가 가지는 좋은 성질들 (ex. +,x연산에 대한 성질, 그리고 지수연산) 을 갖지 못하므로 부적절하다는거죠? Robinson Arithmetic이랑 다 찾아보고 있는데 되게 흥미롭네요. 감사합니다!