[일반] 수학사에서 집합이란 도구가 끼친 영향은 혁명적임?

[익명(118.235)]

집합론이 그리 유명했던 이론이었던가

[익명(mzdrg)]

자연수를 정의할 수 있게됐음

[뉴비(175.116)]

딱히 그런정도인지는 모르겠는데 set를 concrete 하게 정의할수 있는건 변화라고 봐야지 않나

[수갤러 1(211.234)]

중구난방하던 수학이 집합의 언어로 통일됐지

[익명(118.235)]

그저 존재하는 것들의 질서만 바로 잡았을 뿐이지 지금의 현대수학에서 없었다고 가정하면 존재 자체가 안될 분야는 없는거 잖냐

[수갤러 1(211.234)]

집합만 따지면 별 영향력은 없는거 같음 왜냐면 인간이 아주 자연스럽고 직관적으로 떠올릴 수 있는 것이 집합이니까 다만 집합론의 영향을 물어본 거였더면 난 혁명적이었다고 생각함. 대표적으로 무한대끼리의 대소비교가 가능하다는 사실을 밝히고 러셀의 역설, 부랄리포르티 역설 등을 통해서 수학이라는 학문을 더 잘 이해하게 된 것도 있지

[수갤러 1(211.234)]

르베그의 측도론에도 지대한 영향을 끼쳤고

[Oo(175.208)]

딱히. 그냥 수학기초론 분야에서 한 때 크게 일었던 붐일 뿐이지. 물론 집합론에서 등장하는 여러 개념들 덕택에 모호했거나 모순이 있던 부분들이 명확지기도 했고, zorn's lemma와 같은 도구들이 여러 명제를 명확히 증명하는데 활용되기도 했지. 하지만 그게 끝.

[Oo(175.208)]

예를 들어 17세기의 미적분학 이후 18세기 해석학과 복소해석학 등이 집합론 덕분에 혁명적 변화가 있었나? 아니. 비유클리드 기하학에서부터 리만의 기하학은 20세기 초의 집합론이 없었어도 발견되고 발전되어 20세기를 주름 잡았어. 20세기 초의 집합론에 그렇게까지 큰 의미를 부여할 이유 전혀 없다.

[익명(118.235)]

거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 하는 근원적인 가치로 봐도 무쓸모임? 직접적인 큰 변화가 아닌 적어도 표현하는 틀을 만든 공로에서 봤을때

[Oo(175.208)]

이론 전개의 토대라는 것도 참 애매하지. 20세기 초의 공리적 집합론 이전에도 집합이란 단어 잘 썼고 미적분학부터 복소함수론에 정수론 대수기하학에 갈루아이론까지 전혀 문제 없이 발전했어. 공리론적 집합론 없이도 말이지.

[Oo(175.208)]

공리론적 집합론은 그저 수학의 각 분야에서 극단으로 파고들었을 때 생기는 수학적 모순을 사전에 방지해 준다 정도지. 그리고 zorn's lemma와 같이 극단적 상황에서 수학적 엄밀성을 보장해 준다 정도.

[Oo(175.208)]

예를 들어 대학 교재들 살펴 봐. 공리론적 집합론 없이도 이론 충분히 잘 적어낼 수 있어. 다만, 극단적 상황에 이르렀을 때 이론의 무모순을 위해 혹은 증명의 명확성을 위해 집합론에서의 도구 몇 개를 갖다 쓸 뿐이야. 모든 이론을 전개하는 토대 같은 것일리 없지. 뭐 집합이란 단어를 쓰기만 해도 집합론의 토대라 말한다면야 할 말 없겠지만.

[익명(118.235)]

그럼 그냥 집합론이전에 집합이 있든 없든 그냥 수학 역사 전체 에서 집합의 등장자체만 따지면 어떰?

[익명(episode5899)]

아님 - dc App

[수갤러 2(220.82)]

너무 집합론에 박한거같은데 물론 수학적 내용에의 영향력이라고 하면 거의 없지만 일종의 "이 선을 넘어가면 위험" 이런 경고문같은 역활은 했다고봄.