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클래식하게 variety를 정의를 할 거에여(scheme안쓰고)

1. A^n공간의 locally closed set X(즉 quasi-affine)에 대해 regular function을 정의를 할것인데

정의는 평소 하던 것처럼 
각각의 point 주변에서 locally 하게 두 polynomial의 ratio로 표현되면 regular라 할거에요

그니까 hartshorne 챕터1에서 quasi affine variety에 대해 정의한 방식이랑 똑같음ㅇㅇ

근데 Hartshorne와 차이점은 뭐냐면 이 정의는 X가 reducible인 경우도 포함을 했다는것

(실제로 shafarevich 책 보면 이거랑 비슷하게 reducible인 quasi proj set에도 regular을 정의해줌) 
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2. 저런 식으로 정의를 하면

Affine variety X에서는 함수 f:X->k가
Regular function iff 적당한 polynomial로 표현됨
이 알려져있어요(핫숀 챕1 Th3.2(a)

글고 Shafaravich 책 보면(basic algebraic geometry 1, third edition, 챕1에 4.2)
꼭 X가 Irreducible이 아니어도(그니까 그냥 closed set이기만 해도)
Regular iff 적당 poly로 표현됨

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3. 그럼 이게 궁금한 본론인데

X를 locally closed set of A^n으로 두고
X_1,...,X_m을 X의 irreducible component라 할거임


Function f:X->k를 하나 잡고
f_i:X_i->k를 그 restriction이라 할거임


그러면 다음 둘이 동치인가요?
1) f는 regular
2) 각각의 f_i가 regular

이걸 질문하고 싶었음...

일단 X가 그냥 closed set of A^n일때는 증명을 했음(근데 혹시 실수했을지 몰라서 검토해봐야함)
근데 X가 locally closed일때는 아무리 해봐도 증명이 안됨;;;


저거 동치인지 아닌지 혹은 반례가 있는지 알려주실 분 구합니다
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