[일반] (ab+bc+ca)^3-abc(a+b+c)^3 인수분해어떻게하나요

[익명(118.235)]

념글 보다가

14.32 수학 수행평가에 (ab+bc+ca)^3-abc(a+b+c)^3 인수분해하라는게 무려 7.9점짜리로 들어가있던데

호기심에 한번 시도해봤다가 몇시간 투자해도 못풀겠네요 ㅋㅋ

저거 문제집에서 보지도 못했던거같은데

혹시 저거 인수분해 어떻게하는지 아시는 분 있나요?

[수갤러 1(58.230)]

이거 KMO같은거 대수파트 유명기법임

[수갤러 1(58.230)]

별건없고 그냥 싹다 풀고 정리하면 (ab-c^2)(bc-a^2)(ca-b^2) 으로 싸이클 형식으로 나올꺼

[익명(118.235)]

저거 인수정리나 인수분해공식같은거에 없는데 어떻게 저걸로 묶을 생각을 할 수 있을까요?

[나그네(cc48wy6awalz)]

ㄴ밑 글 참고

[수갤러 1(58.230)]

내가 옛날에 올림피아드할때(지금은 늙은이임), 기억을 더듬어보면, 이런류는 '싸이클로 인수가 돌아간다'고 가정해야함

[수갤러 1(58.230)]

저거 전개하면 막 ab3승 abc4승 이렇게 나올텐데 그러면 일단 인수분해 되며 싸이클일거같으므로 (뭔가)×(뭔가2)×(뭔가3) 로 될꺼라고 어림짐작하고

[수갤러 1(58.230)]

저 괄호가 3개니까 (ab+뭔가)(bc+뭔가)(ca+뭔가) 로 가정하고 찾아가면 편함. 왜 ab,bc,ca를 넣었나면 a^3b^3 이렇게 두개짜리의 3승이 있을거니까. 근데 걍 외우는게 편함

[익명(118.235)]

그렇군요...아 감사합니다

[ℵ(mathematica)]

https://gall.dcinside.com/math/62423

[익명(59.11)]

교대식 대칭식이 올림피아드 비스무리 하긴 한데 보통 부등식이나 다른 걸로 나옴 인수분해는 정형적으로 직접 변수 여러개에 수나 관계식 넣어보면서 추측하고 일반화하면 풀려서 그럼 실제로 풀면 정수계수 대칭식, 사이클 등으로 나올거 염두하고 0, 1,1, 1,-1, a,a, a,-a 같은거 넣고 ab=c^2 되나 확인하면 끝 그냥 모르면 어렵고 알면 쉬운 그렇다고 막상 쓸데는 없는 잡테크닉이라 교과과정에 넣을건 아님

[나그네(cc48wy6awalz)]

방금 나도 풀면서 몇분간 어떻게 푸는 건지 좀 의아한 체 하나하나 나눠서 풀고 있었는데 문득 a,b,c 를 각각 3차방정식 (x-a)(x-b)(x-c)=0 의 근으로 간주한 뒤 이 식을 전개해서 x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0 으로 놓고 해당 식의 미지수 x에다 a,b,c 를 넣은 경우의 식들을 갖다가 이리저리 해보다보면 어떨까 싶어서 이렇게 해봤는데 마지막에 (ab+bc+ca)^3 과 abc(a+b+c)^3 얘네들을 인수분해 된 형태로 묶인 다른 식으로 변형이 가능해서 얘네 둘을 서로 빼주면 예쁘게 인수분해된 꼴을 얻을 수 있긴 하더라고

[나그네(cc48wy6awalz)]

기존에 내가 접근했던 방법은 k=a+b+c 로 놓아서 2(ab+bc+ca)=(k^2-(a^2+b^2+c^2))^3 임을 유도한 뒤 풀려고 하는 해당 다항식의 2번째 항을 -8abck^3로 나타내어 이를 각각 (-2ak)(-2bk)(-2ck) 이렇게 묶고 임의로 정한 식 f_1,f_2,f_3 얘네들을 갖다가 저 다항식을 (f_1-2ak)(f_2-2bk)(f_3-2ck) 된 형태로 인수분해하여 풀 수도 있지 않을까 싶었는데 은근 계산이 복잡해지기도 하고 중간에 테크닉이 더 많이 필요한 것 같아서 걍 위에 적은 다른 방법으로 접근해봄

[나그네(cc48wy6awalz)]

아 2번째 댓에 있는 2(ab+bc+ca)->(2(ab+bc+ca))^3 으로 수정함