Section 27 문제입니다.
가정에 every closed interval is compact라고 적혀있는데,
인터넷에 돌아다니는 솔루션 여러개를 보면 다들 every closed set is compact라고 가정하고 문제를 풀더군요.
1. 혹시 이게 오타인가요?
2. 아니면 모든 closed interval이 compact면 자동적으로 모든 closed set이 compact하게 되나요? (이 경우 모든 closed set은 closed interval의 finite union으로 표현 되나요?)
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closed set인데 닫힌구간 안에 안 들어갈 수도 있잖아요? 가령 closed ray는 closed set인데 closed interval 안에 안 들어가잖아요.
1. 전체부분집합의 컴팩트성 없이 증명할수 있을거같음 2. 칸토아 집합생각해보면 finite union으론 절대불가능
힌트 좀 부탁해요
위로 막혀있는 집합 A가 있고 임의의 원소 a에 대해 [a,b]를 생각해보자//b is the one of its upper bound. 이때 cl(A)n[a,b] 중 A에 없는 원소 c를 생각해보자 (없다면 b가 least upper bound)
이녀석이 얼마나 작아져야 A에 들어갈수 있을까 더작은 포함되지않는 녀석이 있다면 어떤일이 일어날까
재밌?는 풀이 집합 E가 위로 유계라 하고 least upper bound property를 만족하지 않는다고 하면, {an}은 E에 속하고 {bn}은 E에 속하지 않는 a1 < a2 ... < an < ... < bn < ... < b2 < b1을 잡을 수 있음. (a1, an)과 (bn, b1)을 전부 모으면 [a2, b2]의 open cover