쓰다 날려먹어서 대충씀
위상에 보면 complement랑 closure 를 연속적으로 사용해서 얼마나 많은 집합을 만들어낼수있는지 묻는 문제가 항상 있음.
14개라고 하고 보통 증명하라고 하거든
A의 complement 를 cA
A의 closure 를 fA
라고 하고
가령 closure 를 먼저 취하고 그 뒤에 complement 취하는건 fcA 이런식으로 씀
그럼 세가지가 성립함
cc=identity
ff=f
fcfcfcfc=fcfc
세번째를 설명하자면, A의 interior 를 iA 라고 쓰기로 하자.
그럼 iA=cfcA 란 말임?
따라서
fcfcfcfc=fcfc 이거는
f(cfc)f(cfc)=f(cfc) 로 다시 쓸 수 있고 결국
fifi=fi
랑 똑같음.
사람말로 fifi=fi를 적어보면,
A를 가지치기해서 (iA), 그걸 다시 꽉꽉 채워 얻은 fi A 가 있는데,
거기다 똑같은 과정을 또 수행해서 가지치기하고 (ifi A) 그걸 또 채워넣어봤자 (fifi A)
추가되거나 사라지는건 없단소리임.
대칭적으로 cfcfcfcf=cfcf 도 성립함. 왜냐면
cfcfcfcf
=cfcfcfcfcc
=c(fcfcfcfc)c
=c(fcfc)c
=cfcfcc
=cfcf
그래서 이얘길 왜꺼냈냐하면 다음 포함관계가 성립함
선끼리 연결된게 다 포함관계고, 오른쪽으로 갈수록 커지는거임.
14개라며 왜 6개밖에 없냐? 라고 묻는다면
저거에 complement 만 취하면 포함관계 기호만 거꾸로 되서 그대로 또 성립하고 총 12개가 됨.
거기에 A, cA 만 빠진거임.
A는 별 대단한 관계를 안가짐. 그냥 우리가 익히 아는
iA ⊆ A ⊆ fA
이 관계만 있고, 일반적으로 cfcA 이런애들이랑은 일반적인 포함관계가 없음 cA 도 마찬가지.
이게 이제 흔히 언급되는, 14개 집합을 모두 얻을 수 있는 R의 일반위상에서의 부분집합임
얘를 가지고 저 6개의 포함관계만 그려보면
이렇게 됨.
그러니까 아까 질문에서 iA 랑 fA 사이에 B가 있다고 쳤을 때, B의 내부, 폐포, 외부, 경계 이런게 같냐고 물었잖음?
전부 다 반례를 짚을 수 있음.
폐포의 경우 B=fifiA 일 때 반례이고
내부의 경우 B=ififA 가 반례
경계는
iA 가 {0,1,2},
fA 가 {0,1,2,3,4,5}
그 사이 ...(fiA) 류는 {0,2} ...(ifA) 류는 {0,2,4,5}
이렇게 다름
외부의 경우에도 당연히 다를거고
암튼 interior 와 closure 사이에는 엄청나게 큰 공간이 있을 수 있다~
오