[일반] 해석학하다가 궁금한점

[익명(125.184)]

수열이 코시라는 거랑 수열이 수렴하는 게 동치면 굳이 코시 수열이라는 개념을 정의하는 의미가 뭐임? 

수열이 수렴하는지 판정하기 위해 인위적으로 만들어냔 개념인거임?

[익명(112.148)]

유한차원 공간을 벗어나면 두 개념이 같지 않아지기 때문

[익명(125.184)]

[수갤러 1(223.38)]

갑자기 차원...? 좀 별개의 개념임 함수공간을 생각한거 같다만 - dc App

[익명(112.148)]

R^n을 벗어나는 경우를 대충 말했음

[Oo(175.208)]

대개의 수렴의 정의는 수렴값의 후보를 안다는 가정 아래 정의가 되잖아. 그런데 그 후보조차 무엇일지 가늠할 수 없는 상황이라면?

[익명(125.184)]

그러네 수렴값을 정확히 모르면 대체해서 사용할수있구만

[Delpcon(bare3888)]

실수에서는 그런데, 다른 위상공간에서는 그렇지 않을 수가 있습니다. 나중에 위상을 배우시겠지만, 코시 수열이란 개념 자체가 거리공간에서 정의되는데, 그 중에서도 '완비거리공간' 이라는 공간의 정의는 '임의의 코시수열이 수렴수열인 거리공간'으로 정의됩니다. 이 말은 완비거리공간이 아닌 거리공간은 코시 수열이라도 수렴하지 않을 수 있음을 암시합니다...

[Delpcon(bare3888)]

간단한 예로 Q 에 정의된 수열 1, 1.4, 1.41, 1.414, ...는 코시이지만 수렴하지 않습니다. 루트 2가 Q에 없기 때문입니다

[익명(125.184)]

음 아직 위상을 잘 몰라서 모르겠넴 암튼 ㄱㅅ

[익명(mzdrg)]

실수의 코시 수열의 수렴성이 실수의 완비성 공리와 동치여서 매우 중요한 개념임. 보다 일반화된 위상공간에서 완비성을 따질때 코시 수열을 사용함.

[Affine(algebra500)]

수열이 수렴하려면 물론 수열 자체가 예쁘게 생기기도 해야겠지만, 그 수열이 살고있는 공간도 예뻐야함. 적어도 수렴할 값은 잘 갖추고 있어야 하는데, 아예 주어진 공간에 그런게 없을수도 있음. 예를들어 원주율의 소숫점 아래 n번째자리까지 따라한 유리수열을 an 이라고 하면 이 수열은 유리수세상 Q 안에서 분명히 코시수열이지만 수렴하질 않음. 그래서 코시수열이다=수열이 예쁘다 코시수열이 수렴안한다 = 수열이 예쁜데도 문제가 있다. 공간에 빵꾸가 뚫려있다. 이런거임 그 빵꾸를 채워넣는데는 여러 방법이 있는데 코시수열을 잘 써먹는 방법도 있음

[뉴비(175.116)]

동치 아님

[ㅆㅅ(siiot)]

어떤 공간이 complete면 코시 수열과 수렴하는 수열이 동치임

[수갤러 2(118.223)]

어디로 수렴하는지 몰라도 수렴 자체는 한다는건 보일 수 있어서 그런듯