해석학 입문에서 범자연수의 집합론적 정의를 배움
나무위키에 적힌 그대로 배웠는데 뭔소린지 몰겠음
0 = ∅
1 = 0 U {0} = ∅ U {0} = {0} = {∅}
2 = 1 U {1} = {0} U {1} = {0, 1} = {∅, {∅}}
인데
그냥 단적으로 말해서 3 = { 0, 1, 2 }인거잖아?
그럼 자연수를 집합의 원소 수,
그러니까 공집합을 계속 겹치는걸 반복해 그 수로 자연수를 정의한다고 이해하면 돼?
3 = {공, 공의 집합, 앞의 둘을 원소로 가지는 집합}
이런식으로 집합을 피보나치 수열마냥 덧씌워가면서 정의를 한다?
어우 시 뭔소리야
묑치겠네 진짜
페아노 공리계를 만족하는 모델을 찾고 싶어서 억지로 하나 만드는 거임
묑 ㅋㅋ
ㅇㅇ 말 그대로임
오
뭔소린지 모른다면서 다 알고 계시네 ㅇㅇ
웅 - dc App
0은 공집합이고, n ={0, 1, ..., n-1} 임. - dc App
ㄱㅅ 사실 느낌은 약간 집합 안에 있는 원소의 수인데 엄밀히는 그게 아닐테니... 교수님한테 질문해보니 공리처럼 그냥 받아들이라고 하더라
"집합의 원소의 수"를 어떻게 정의할 거임? 집합 A의 기수가 n이라는 것의 정의가, 두 집합 A와 n 사이에 일대일대응이 있다는 것임. - dc App
구체적인 정의보다 페아노 공리가 중요함 사실 현대 수학에서 공리라는용어가 정의 대신 쓰인다고 생각하면됨
꺼무위키에선 페아노 공리는 공리가 아니라던데... 뭐 중요한건 여전하지만
페아노 공리 뿐만이 아니라 그냥 zfc공리빼고 모든 공리라는 용어를 '정의'와 동치라고 생각하면 됨 본문처럼 구성적으로 보여주는 정의가 아니라 '이러이러한 성질을 만족하는 것을 ㅇㅇ이라 하겠다' 하는 형식의 정의에 공리라는 용어를 가져다 씀
자연수의 페아노 공리부터 시작해서 실수도 '완비순서체'를 실수라 하겠다 하고 정의하면 실수에 대한 공리적인 정의임 대수학의 군환체 벡터공간 이런것도 다 공리적인 정의라 할수 있고 그래서 체의 공리라느니 하는 말도 쓰임 조금 다른예로 행렬의 '행렬식'함수같은것도 공리적으로 정의하는 경우가 많고 이런식의 공리적인 정의는 '원하는 성질'이 무엇이냐를 정의부터 보여줘서 모티베이션을 이해하기 쉽고 대신에 그러한 객체가 반드시 존재함을 보여줘야되고 유일한 경우 유일함도 따로 보여줘야지
그래서 본문의 내용은 사실 자연수의 '정의'라기 보다 페아노 공리로 정의한 자연수가 실제로 있냐를 보이는거임 그리고 실제로 있음을 알고나면 그 실제 구성은 사실 별 상관없음
20세기 초 일련의 수학자들은 집합론을 기반으로 수학을 엄밀화하고 싶어 했음. 예를 들어 자연수 1을 어떻게 정의할 건가? 집합을 이용해서? 원소가 1개인 집합을 1이라 부르면 될거다가 아이디어야. 2는 어떻게 정의하나? 원소가 2개인 집합을 만들어서 이걸 2라고 하자는거야. 그러면 원소가 1개인 집합은 어떻게 만들지? 집합론의 시작은 공집합이 존재한다에서
부터 시작하기로 했어. 자, 공집합 % 존재할 때 이걸로 원소가 1개인 집합을 만드는 방법? 그게 바로 {%}. 원소 2개인 집합은? {%, {%}}. 이게 바로 2야. 이렇게 만들어 가는 거야.
물론 다른 방법도 가능하겠지. 그런데 여기서 대단란 점은 자연수의 덧셈 같은 거랑 잘 어우러지게 원소 n개짜리 집합을 공집합으로부터 만들어내는 방법을 고안해 냈다는거지.
S(x)= x U {x}