이때 (Y-y1)²=0 (접선의 정의에 따라 좌변이 중근을 가짐) 라고 하면,
Y²-2pyy1+y1²=0이고,
4px-2pyy1+4px1이다. (정리하면 교과서에 나온 식과 같은 모양이죠.)
저는 접선의 정의로 당연히 성립하는줄 알고 아렇개 증명했는데 교과서에선 대입해서 판별삭을 쓰는 생각보다 긴 방법으로 증명하도라고요..
신나서 선생님께 보여드렸더니 2차식 모양이 우연히 같아서 식 모양이 잡힌거지 수학적으로 옳은 증명은 아니시라는데 정말 그런건가요?
먼저 접선의 방정식은 y1=mx1+n이 아니라 y=mx+n입니다 (x1, y1)이 접점이라는 것으로부터 연립방정식 y²=4px, y=mx+n 의 한 근이 (x1, y1)인 것은 알 수 있지만 다른 근이 없다는 것, 특히 x 또는 y에 대한 이차방정식이 중근을 가진다는 것을 따로 증명해야 할 것 같습니다(자명해 보이지만..)
수2 선택과목 미적분에서 접선은 곡선 위를 움직이는 한 점과 곡선 위를 지나는 다른 점 (정점)이 주어졌을때 곡선 위를 움직이는 한 점이 곡선 위를 지나는 다른 정점에게로 한없이 다가갈때 두 점을 이은 접점이 '한' 직선으로 수렴할때 그 직선을 접점으로 정의하는데 별도의 증명이 필요할까요? 제가 고등학교 수학 이후로는 아예 몰라서요.
접선의 방정식을 잘못 표현한건 이해했습니다, 감사합니다.
한 직선으로 수렴할때 (원래 곡선이 미분가능하다면) 그 직선의 기울기는 그 점에서 곡선의 미분계수가 되겠죠 도함수를 이용해서 식을 써보면 f(a)=f'(a)=0 같은 꼴이 나오는데 f가 다항식이라면 (x-a)^2을 인수로 가진다는 뜻이겠지만 예를 들어 f에 e^x 같은 것이 포함되어 있는 경우는 뭐 어쩔 수 없죠.. 교과서의 증명은 어떤지 모르겠지만 문제의 경우도 다항식으로 나타낼 수 있으므로 결론적으로 판별식을 이용한 증명이 틀린 것은 아닙니다
아뇨 그건 선생이 틀린겁니다. 이후에 대수기하 같은 내용으로도 연결되는 내용이고요 선생이 제대로 모르는거 같은데 중고교 선생도 정확히 내용을 숙지 못하거나 틀린 경우가 있는데 선생은 가릋치는 사람이지 틀리지 않는 사람이 아니라는걸 아셨으면 좋겠습니다 말씀한 거에서 yy1 계수에서 p 빼야되고요, 방법론은 생각한 그대로. {직선, 포물선} 연립방정식에서 중근이 나와야 하고 그 결과는 (y-y1)^2=0으로 유일하게 강제됩니다. 따라서 포물선을 기본 조건으로 두었을때 동일한 해가 나오는 선을 찾으면 되는데 그 선은 기하학적으로 단 하나라는건 자명. 따라서 이하 직관적으로 논리적으로 접선을 구한겁니다. 뭐 이런 "호위"하는 설명과정이 필요하지만 틀린건 전혀 없고 당연히 맞는거구요
애초에 판별식=0을 조건으로 쓰는건 기본적으로 (y-y1)^2=0을 주장하는것과 동치입니다. 따라서 기계적으로 직선의 방정식 넣고 판별식 =0조건을 넣어서 구하는것과 님이 한건 동일합니다. 당연히 동일한데 판별식을 쓰는건 수학적으로 옳고 님 방법은 틀렸다는건 중학교 수학도 제대로 이해하지 못한 수준이고요. 선생이 틀린게 명백하고 사과하는게 맞다고 보입니다. 이 풀이가 여전히틀렸다고 한다면 교육청이나 교육과정측에 공식 문의해서 확인해보셔도 됩니다
구체적으로 선생님께선 y²에 4px, y1²에 4px1을 대입하는 과정이 잘못되었다고 하셨는데 175님 말씀처럼 저도 동치관계 잡고 식을 대입한고, A를 포물선 위의 점이라고 정의했으니 문제는 없다고 생각했거든요. 그리고 식 전개할때 p를 넣은건 큰 실수네요.
말씀 감사합니다,