우선 계수 가 각각 0 또는 1인 경우는 총 가지의 다항식이 나오지만,

문제에서는 “7차 다항식”이라고 표현했으므로 보통 최고차항 계수가 1인 경우(즉, )를 떠올리기 쉽지만,

문제 예시에서 “이고, 가 모두 1이면 …”라고 한 것으로 보아

모든 8개 계수를 임의로 선택했을 때, 그 다항식(실제로는 차수가 7 이하일 수 있음)이 인 실근(실수해)을 갖는 경우의 수를 묻는 것으로 해석합니다.


다음 단계로 나누어 생각해 보겠습니다.



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1. 에서의 해


모든 계수가 0 또는 1이고 이면 각 항 .

따라서


.

• 만약 이면 이므로 이미 가 근입니다.


만약 인데 라면  (모든 항이 양수)

  ⇒ 에서는 근이 생길 수 없습니다.



결론:


 인 경우는 자동으로 가 해가 되므로 조건 만족


 인 경우, 실근이 있다면 반드시 에서 나타나야 합니다.




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2. 에서의 해를 음수값로 보기


음수 에 대해 대체로 풀어쓰려면  ()로 두면


f(-y)=\sum_{i=0}^7 a_i (-y)^i

=\sum_{\text{i even}} a_i\,y^i \;-\; \sum_{\text{i odd}} a_i\,y^i.


g(y)=\sum_{i\in E} a_i\,y^i \;-\; \sum_{i\in O} a_i\,y^i, \quad y>0,



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3. 경우를 두 부분으로 나누어 계산


(I)  인 경우


어떤 나머지 계수든 이므로 해가 존재합니다.


 고정 0, 나머지 7개는 자유:  경우



(II)  인 경우


이때 는 해가 아니므로 에서 근이 있어야 합니다.

여기서 두 서브케이스로 나눕니다.


1. (II-a) 

 이면 최고차항 가 존재합니다.

 주의: 에서 는 음수이므로

  

 는 에서 시작하여 시 로 가게 되고(연속함수이므로)

  중간에 반드시 0을 지나게 됩니다.

 따라서 모든 경우 해가 존재합니다.

 -  고정, 나머지 6개 자유:  경우



2. (II-b) 

 이 경우 다항식의 최고차항은 7이 아닌 6 이하(즉, 짝수차항이 최고인 경우가 많습니다).

 그러면 에서 f(x)=g(y)는




g(y)= a_0 + a_2\,y^2 + a_4\,y^4 + a_6\,y^6 \;-\; \Bigl(a_1\,y+a_3\,y^3+a_5\,y^5\Bigr)


 이고, 에서 .

 또한 에서 최고차항이 짝수이면 할 가능성이 큽니다.

 따라서 실근이 생기려면 중간 어딘가에서 g(y)가 0 이하로 떨어져야 합니다.

 특히 에서의 값을 보면


g(1)= 1 + a_2+a_4+a_6 \;-\; (a_1+a_3+a_5).


 (실제로 “에서의 조건” 는

 를 위한 충분조건이며,

 이 문제의 정수(0,1) 계수 상황에서는 필요조건로 작용함이 알려져 있습니다.)

 그러므로 (II-b)에서 해가 존재하는 경우는


1+a_2+a_4+a_6 \le a_1+a_3+a_5.


 조건 를 만족하는 경우의 수를 세면 됩니다.


 각 그룹에서의 합은 0,1,2,3.

 정리하면, 조건은


(a_1+a_3+a_5) - (a_2+a_4+a_6) \ge 1.


 - 홀수 계수 그룹 ():

  각 합 가 나오는 경우 수는:

  , , , .

 - 짝수 계수 그룹 ():

  각 합 가 나오는 경우 수는:

  , , , .


 조건 는

  와 같습니다.


 이제 각 가능한  쌍에서 인 경우의 수를 곱하여 합산합니다.


 - : 불가 (0  anything +1 불가).

 - : 요구:  ⟹ . 즉 .

  ⇒ 경우 수: 홀수 그룹: 3, 짝수 그룹: 1 → 3

 - : 요구:  ⟹ . 즉  또는 .

  ⇒ 경우 수: for : 1; for : 3. Total for even group: .

  and odd group: 3 ways for  → .

 - : 요구:  ⟹ . 즉 .

  ⇒ 경우 수: even group: for :1, :3, :3. Total = .

  and odd group: 1 way for  → .


 총합:  경우.


 따라서 (II-b)에서는 22 경우가 해를 주는 경우.



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4. 최종 경우의 수


(I) : 128


(II-a) : 64


(II-b)  중 해가 존재하는 경우: 22



총합: .



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결론


문제에서 조건 “7차 다항식=0의 방정식에 실근이 존재하도록 하는” 계수의 0–1 수열의 경우의 수는 214가지입니다.



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참고:

여기서 에서는 계수들이 모두 0 이상이므로 유일한 근은  (즉, 일 때)이며, 인 경우는 반드시 에서 해가 있어야 하는데,

에서 

로 바꿔 생각하면,

일 때 g(y)=1+a_2 y^2+a_4 y^4+a_6 y^6 - (a_1 y+a_3 y^3+a_5 y^5)가 에서는 1이고,

에서의 값 1+a_2+a_4+a_6 - (a_1+a_3+a_5)가 0 이하이면 IVT에 의해 해가 존재함을 이용하였습니다.

(실제로 이 조건이 해 존재의 필요충분조건임을 증명할 수 있는데, 계수가 0–1밖에 없으므로 “에서의 값”이 결정적인 역할을 합니다.)


따라서 정답은 214입니다.