do carmo에서 regular surface를 아래와 같이 정의하는데 2번 조건에서 헷갈리는 게 있음
2번 조건과 같은 F가 항상 존재하는지 궁금함. (F가 존재하면 x가 homeomorphism이 되는 건 알겠음. 그 반대도 성립하는지가 궁금함.)
책은 위상수학 지식 없어도 읽을 수 있게 subspace topology를 직접 언급하지 않으려고 부연 설명을 한 것 같은데
(subspace topology 주면 x가 homeomorphism이다. 면 충분할 테니까)
이 부연 설명이 좀 더 강력한 것인지, 동치인지 알고 싶음.
x가 homeomorphism일때 저런 F가 항상 존재하냐고 묻는거야? 당연한거지 x^-1의 restriction이 조건을 만족하니까
F로 확장할 수 있는 지가 궁금했음. F는 정의역이 더 넓으니까
F가 x^-1보다 정의역이 더 커지는데 정의역에서 연속이도록 확장할 수 있는지
일반적으로 subspace의 임의의 연속함수가 항상 더 큰 공간 위로 연속적으로 확장되느냐하면 그건 아닌데 (x>0에서 1/x 같은게 반례) 이 상황에선 tubular neighborhood를 잡으면 돼서 가능할듯
아니면 정의역을 살짝 더 줄이는 걸 감안하고 Tietz extension theorem을 써도 됨
더 찾아볼게 알려줘서 고마워
근데 뭐 중요한 거 아니라서 그냥 subspace topology 기준으로 homeo라고 받아들이면 됨. 실제로 그게 더 많이 택하는 정의기도 하고
교수님도 homeo인게 더 중요하다고 했는데 책의 설명은 저러니까 저 설명이 어디까지 맞는말인지 궁금했어 고마워
아 근데 생각해보니까 그냥 프로젝션 했을때 비슷하게 되도록 파이프 통 모양으로 만들면 되는건가 미분기하 나오는 비슿한 거랑은 상관없이 그냥 되는걸수도? 진짜로 그냥 사족인 거였네. 곡면의 스몰 오픈셋에서 R2로 가는 차트가 x^-1 일때 충분히 줄여 잡으면 projection map으로 차트를 잡을 수 있고 (명제 본거 같음) projection이기 때문에 자동으로 곡면 포함하는 R3에서의 맵으로 확장되었던거 같습니다. 챗봇 확인해보시면 맞을거에요
homeomorphism이고 매니폴드 정의할 때 도카르모 책에서 그랬으니 그걸 상정해서 생각하시면 되고 위에 분이 다 설명하신거 같습니다. 근데 그 디멘젼 하나 위로 올리는건 따로 알아두실필요는 있을거 ㄱ탕요. 좋은 질문 같고요 그거 실제로 미분기하에서 썼던거 같은데 잘 기억은 안납니다. 근데 단순히 homeo를 토폴로지 베이스 없이 하려고만 있는건 아니라 실제로 그거 쓸거에요 미분기하에서요
간단하게 W를 큐브, V∩S를 그 큐브를 밑면에 평행하게 자른 단면이라고 생각하고 x^-1랑 W에서 그 단면으로의 projection을 합성하면 됨. 일반적으로 submanifold(e.g. surface)가 closed embedding이면(부분집합으로서 closed면서 subspace topology를 물려받았으면) 확장 가능하다는 정리도 있을거임
정리가 있었던거같은. embedded submanifold S in Rⁿ 에대해 f:S->R이 S의 미분구조에서 differentiable이면 S를 포함하는 어떤 Rⁿ의 open set에서 R로가는 differentiable(여기서는 기존에 해석학적 의미랑 같은의미) 함수로 확장가능하다.
저기서 x가 우리가아는 homeo라 하고 1,3을 가정하면 VnS는 embedded submanifold in R³가 될 조건을 만족함. VnS를 미분다양체로 봤을때 거기서 R(더 나아가 다른 미분다양체)로가는 함수의 미분가능이라는걸 정의할수있는데 그 미분가능의 조건을 x^-1의 각 성분함수들이 만족을함.(x가 diffeomorphism이도록 VnS에서 정의된 함수의 미분 가능성이 정의돼서) 그래서 위에서술한 정리를 사용하면 2의 뒷부분에 서술된 조건을 만족함을 얻을수있음 좀 닭잡는데 소잡는칼 쓰는거같은데 elementary하게는 윗분들 댓글대로 하면될듯.
다양체를 Rⁿ에 묻어놓은 셋팅으로만 가는 경우에 유독 책들마다 정의들이 동치인데 형식이 다른경우가 종종있던. 미다체 참고하면 보통 쉽게 통합이 됨을알수있음뇨.
지금은 교수님한테 그냥 두개 동치인거 과제나 시험에 써도되는지만 확인하고 넘어가도될듯?
다들 친절하게 설명해줘서 고맙습니다!!