미안하다 제목은 어그로다
기하학개론 강의 내용 중에 이 증명을 엄밀히는 틀린 증명이라면서 가르쳐주심
대충 "둘레의 길이가 L로 동일한 2차원 도형들 중 넓이가 가장 넓은 것은 원이다“ 에 대한 증명임. 엉터리 설명이어도 이해해주셈
1) 폐곡선 내의 다음 조건을 만족하는 선분 PQ를 가정함
-PQ가 넓이를 2등분함
-선분의 양 끝점 PQ가 둘레를 2등분함 (달리 말하면 도형의 둘레의 조각인 2개의 곡선 PQ의 길이가 같음)
이제 선분 PQ로 등분된 도형들 중 하나에 대해서 논리전개를 계속함
2) 넓이가 최대인 도형은 곡선 PQ 상의 임의의 점 R에 대해서 PR과 QR이 모두 해당 도형 내에 있어야 됨.
3) 넓이가 최대인 도형은 곡선 PQ 상의 임의의 점 R에 대해서 삼각형 PQR이 모두 직각삼각형 이어야 됨
2와 3을 만족하는 도형은 원 뿐이다.
따라서 둘레의 길이가 L로 동일한 2차원 도형들 중 넓이가 가장 넓은 것은 원이다.
그런데 이 증명이 틀리다던데 왜 그런 거임?
교수님 말마따나
“최대가 존재하면 그것이 원임을 증명한 거지 애초에 최대가 존재함을 보이지 못했다“
“엄밀한 증명은 미분기하학을 배우면 알 수 있다“
라는데 난 범부라 그런지 아직도 그 이유를 이해 못했음...
너가 마지막에 적은 것처럼 최대가 있다는 걸 가정하고 전개했으니까 틀린거야 supremum이랑 maximum은 달라
직관의 함정이구나
이런 비유를 생각하면 어떨지? 양의 실수 k와 열린 구간 (a,b)에서 정의된 함수 f(x) = kx에 대하여, "f(x)의 최댓값 M으로 나눈 함수 g(x) = kx/M의 함숫값은 1보다 작다"라는 명제를 생각해 보면, 최댓값 M이 존재하지 않는다는 점만 빼면 말이 되는 것처럼 보이지.
그러니까 대충 “유한한 둘레를 가진 도형은 넓이가 유한하다“ 내지는 “닫힌 폐곡선의 둘레를 보존하는 그 어떤 변형도 폐곡선으로 유계된 영역의 넓이를 무한히 증가시킬 수 없다“ 에 대한 증명이 더 필요하다는 느낌인가?
그왜 고딩때 미분가능함수가 최대값을 가지는 점은 도함수의 영점임을 배웠고 잘 사용해왔을거잖음? 근데 그게 최댓값의 존재를 말하진않잖아 그거임. 최대가되는 도형의 존재성은 다른방법으로입증해야한다는거
그럼 이 문제는 머릿속 한구석에 치우고 미분기하학 배울 때까지 얌전히 해석선대정수미방이나 연습하는게 맞다는 거군