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교수님이 이 풀이 틀렸다던데 왜 그런 거임?미안하다 제목은 어그로다기하학개론 강의 내용 중에 이 증명을 엄밀히는 틀린 증명이라면서 가르쳐주심대충gall.dcinside.com



물론 그 증명 방법론이나 워딩은 당연히 틀린게 있고 아래 댓글에서 지적한 말 그대로임. 근데 그거 이용해서 평면기하에서 isoperimetric inequality 자체는 증명되는게 맞지 않음? 


그러니까. 그 증명은 사이에 갭이 있어서 틀린게 맞으나, 평면기하를 통해서 해석이나 미적, 미분기하 안쓰고 증명한 내용 방향은 맞는거 같거든? 그 교수님한테 직접 물어보고 싶은데 기본적으로 다음의 이유임


증명이 애초에 틀렸던 이유는, 거기서는 최대넓이를 원이 achieve한다는걸 보이는게 아니라 만약에 어떤 커브가 맥시멈 면적이면 이거여야 한다, 아니라면 그거보다 더큰게 있다. 뭐여야 한다 -> 아니라면 그거 보다 더큰게 있다. 즉 최대면적인 폐곡선이 있다면 개는 뭐여야 한다 라는 증명을 하고 있는거임. 


그래서 그 증명은 정확한 등주부등식의 증명이 아니라는건데, 그거 살짝만 바꾸면 부분적으로는 완벽하게 정확한 증명이 되고 + 미적 해석 미분기하 없이 충분히 어느정도의 결론에는 도달함. 다음과 같음

이하 논리는 스타이너 증명의 아이디어 스케치를 그대로 사용하면됨


wanna find A=sup{a(c); c is a closed curve with len(c)=π}, which takes extend nonnegative real valuesup{a(C) ; C is a closed curve, length(C)=π}=sup { a(c) ; ......}= sup{a(C)∣C is a closed convex curve, length(C)=π, each line PQ with ...... for p,q pair,  bisects the area, and ∠PRQ=90∘ for each  point R on curve pq}

이거는 정확하게 justify 가 되거든? 그니까 조건 하에서 supremum은 전체 set중에서 더 작은, 여러 추가 조건들이 들어간 훨씬 작은 set의 supremum과 같다. 근데 최종 마지막에 나온 curve들만 확인하면 되는데 그게 강제로 원이되면 supremum은 강제로 pi^2/ 4 가 됨. 이렇게 등주부등식을 증명하면 이번에는 어디서 점프나 모순이 발생함?