일단, 지금 질문할 문제는 김현웅 전공수학이라는 임용 대비 책에서 나온 문제인데(167P) 문제 자체가 잘못된 걸수도 있다는 가능성이 있음을 일러둠.


책을 쭉 보고있는데 오류가 좀 많음. 근데 이 문제는 오류인지조차 모르겠음





문제는 다음과 같음


실함수 f가 폐구간 [0,2]에서 2계미분가능하고

f(0)=1, f(1)=0, f(2)=3이면 f ''(c)>a를 만족하는 c가 개구간 (0,2)에서 존재한다고 할 때,

이를 만족하는 a의 최댓값은?





일단 나는 어디까지 접근했냐면


1. 평균값정리에 의해 f '(r)=f(1)-f(0)=-1 이 되게 하는 r가 (0,1)에 존재함.

2. 평균값정리에 의해 f '(s)=f(2)-f(1)=3 이 되게 하는 s가 (1,2)에 존재함.

3. 평균값정리에 의해 f ''(c)=(f '(s)-f '(r))/(s-r)=4/(s-r)이 되게 하는 c가 (r,s)에 존재함.
4. 4/(s-r)>2이므로  f ''(c)>2가 되게 하는 c가 (0,2)에 존재함.


그래서 일단 a=2일 땐 c가 (0,2)에서 존재함을 보였음.


그런데 2가a의 최댓값일거 같은데 최대성을 보이는게 쉽지가 않음. 어떻게 보여야 할까?