책에서는 선택공리를 이용하여 동치인 것들의 모임으로 측도 불가능한 함수를 구성중이던데, ai한테 물어보니 이를 제외한 예시는 존재하지 않는다고 하더라구요
그렇다면 사실상 우리가 다루게 되는 거의 모든 함수가 측도가능하다는 건데 혹시 저런 측도 불가능한 함수를 종종 다루게 되는 경우가 있나요?
너무 특이한 경우라서 다루게 되는 상황이 오나 궁금해서 여쭈어봅니다!
그렇다면 사실상 우리가 다루게 되는 거의 모든 함수가 측도가능하다는 건데 혹시 저런 측도 불가능한 함수를 종종 다루게 되는 경우가 있나요?
너무 특이한 경우라서 다루게 되는 상황이 오나 궁금해서 여쭈어봅니다!
아마 너가 관심있을 내용은 이런 것으로 추측
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set#Consistent_definitions_of_measure_and_probability
뭐 연습문제에서 Vitali set도 종종 나오니까 다룰 일은 있지. 하지만 함수들의 적분 이론을 다룬다고 하면 일단 관심의 대상이 되는 함수들은 최소 측도가능한 것들이겠지
우리가 다루는 거의 모든 함수가 측도가능하다? 측도가능함수들 집합과 측도불가능함수 집합의 cardinality 비교하자는 소리는 아니겠고 (해보삼). 실생활에서 접하는 함수들 같은 경우에는 대체로 mearuable보다는 훨씬 좋을 거고. 지금 그러니까 선택공리 없이도 construct 할 수 있는 것만 다룬다 이런 얘긴가
뭐 실해석 벗어나면 non-measurable case들 특별히 다시 볼일은 없는 편임 (적어도 나는 없었음).
집합론쪽 공부하면 볼일이 좀 있을지도? (추측이고 잘은 몰?루)
그건 그렇고 선택공리나 그에 준하는 것들을 사용해서 무언가 만들어내는 건 전혀 특이한 경우가 아니고 오히려 전형적인 예시들임
uniform empirical process is not borel measurable