[일반] 윌슨정리 질문

[쿠모카시(review2713)]

https://sciphy.tistory.com/m/1353

[정수론] 윌슨의 정리 ( Wilson's Theorem)

이부분이 이해안감

나머지가 a안에 다 들어가있다는건 알겠는데

그게 역원끼리 짝지을수있다는게 왜임?

멍청해서 힘들다ㅅㅂ

- dc official App

[KRT(lonely0210)]

A에서 원소 x가 주어졌다고 하고, x의 역원을 y라고 하자. 만일 x = y 인 경우 x^2 = 1 이어야 하니까, x = 1 또는 p-1임. (반대로 x = 1 또는 p-1이면 x^2 = 1). 이제 B = A - {1, p-1 } 을 생각하자. 즉 B는 A의 원소 중 역원이 자기 자신과 다른 것들의 모임. B가 공집합인 경우는 배제하고, B의 원소 z가 하나 주어졌다고 하자. z의 역원을 w라고 쓰면, z는 1이나 p-1이 아니기 때문에 z와 w는 달라야 함. 또 w의 역원은 z이기 때문에 w도 B의 원소다. 따라서 서로 다른 B의 두 원소(역원관계에 있는) z와 w를 짝지을 수 있게 된다.

[KRT(lonely0210)]

반복해서, B - {z, w} 의 원소 u가 주어졌다고 하자. u의 역원을 v라고 하면, u와 v는 다르고, v도 z 또는 w가 될 수 없음. 이제 다시 u와 v를 짝짓는다. 또다시 B - {z, w, u, v} 의 한 원소를 생각하고.... 계속하면 B의 원소는 유한개니까 결국 B의 모든 원소를 짝지을 수 있게됨. 조금 더 정갈하게 쓰고 싶은 경우 보통 equivalence relation을 줘서 한다.

[KRT(lonely0210)]

v가 z 또는 w가 될 수 없는 건, 예를 들어서 v = z이면 u = [v의 역원] = [z의 역원] = w가 되기 때문에 u를 z와 w가 아닌데서 뽑았다는 거에 위배되서임

[뉴비(175.116)]

위에 사람 말처럼 해도 되고 페르마 소정리에서 x^(p-1)-1의 해가 0 빼고 1부터 p-1 그러면 인수분해해서 (x-1)(...)(x-(p-1)) 밖에 되지 않고 상수항 비교

[수갤러 1(180.66)]

캡처해 놓은 “이 부분“은 이해가 간다며? 뭘 모르겠다는 거지? ”짝짓는다“라는 말을 모를 것 같지도 않은데.

[수갤러 2(211.235)]

Z_p ={0,1,2, ... , p-1} 이잖음. x in Z_p에서 x의 곱셈 역원이 항상 Z_p안에 있을까? 정답은 yes임. 근데 만약 x와 y가 다르면, x의 역원과 y의 역원도 다를까? yes 1의 역원은 1임.

[수갤러 2(211.235)]

그럼 여기서 (p-1)! (modp)를 생각해줄건데 우선 p=2인 경우 네가 직접 곱한 다음 p로 나눠보고 p>_3인 경우 (p-1)!=(p-1)x{(p-2)(p-3)...3×2}×1형태임. 여기서 2부터 (p-2)까지가 짝수 개수만큼 있거든. 근데 교환법칙을 써서 순서를 적당히 조작하면 역원끼리 먼저 곱할 수 있어.

[수갤러 2(211.235)]

그럼 결론은 (p-2)x(p-3)x...x3x2 =1(modp) 니까(p-1)!=(p-1)x1=-1(modp) 이렇게 되는거지