[대학교이상] ideal 개념이 직관적으로 이해가 안가는데 어카지

[익명(163.239)]

ideal 정의 자체는 이해가 가는데 그 이후부터

coset랑 quotient 하고 그것들로 관계 다루는게 잘 안넘어가짐

계속 봐도 빙글빙글 도는 느낌ㅜ

님들은 어떻게 이해하셨음?

[수갤러 1(112.166)]

Coset은 quotient의 원소로 생각하고 quotient만 집중해

[익명(163.239)]

참고해서 다시 봐보겠습니다 :)

[수갤러 2(211.213)]

처음 아이디얼을 도입하는 이유는 quotient를 얻기 위함이긴 한데, 사실 나중에 가면 엄청난 놈이 됨

[익명(163.239)]

뭔가를 위한 빌드업 같긴한데, 어렵네ㅜㅜ

[수갤러 3(211.234)]

정수 집합의 경우 아이디얼은 0을 포함하고, 덧셈에 대해 닫혀있고, 곱셈에 대해서도 닫혀있음 뭐랑 되게 비슷하지 않음?

[익명(163.239)]

정수론에서 congruence 같네

[익명(223.39)]

0이랑 다른 원소를 곱하면 0이 됨 아이디얼이랑 다른 원소를 곱하면 아이디얼이 됨 아이디얼 = 0

[수갤러 4(211.234)]

오 맞네

[익명(112.148)]

Quotient = 0이 아닌 것을 강제로 0으로 만들어버리고 싶을 때 하는 것 (Z에서 2를 강제로 0으로 만들면 Z2가 되듯)

[익명(spinoza1632)]

먼저 정수환, 다항식환의 modulo연산같이 손으로 계산해볼 수 있는 예시를 생각해보셈. 기하학적인 예시로는 실수에서 실수로 가는 연속함수를 정의역의 닫힌 부분공간 B로 restriction하는 맵 Conti(R)->Conti(B)를 생각하면 얘도 일종의 quotient map임. (restrict된 영역 바깥의 함수의 움직임은 무시(동일시)하니까)

[익명(spinoza1632)]

coset같은건 이런 '동치관계를 줘서 축소한 환'을 집합론적으로 실현하기 위한 도구(그냥 형식적인 construction)이라고 난 생각했음.

[익명(163.239)]

친절한 답변 감사합니다!!!

[갱생실패리카(lillollool)]

나머지

[익명(163.239)]

나머지

[익명(104.28)]

머지

[Oo(175.208)]

ring의 두 원소가 ideal의 원소만큼 차이나는 상황이면 같은 것 취급하고 싶을 때 quotient ring을 생각하는 거야. 예를 들어 정수 ring Z에서 ideal 7Z를 생각하면, 20=6+14니까, 20과 6을 같은 것 취급하고 싶어. 그러나 20=6일 순 없잖아? 두 가지 해결책이 있어.

[Oo(175.208)]

결국 같은 결과를 내 주는데, 1. 동치관계를 만드는 거야. x~y if x-y in I로 정의하는 거지. 그러면 20~6이 되지. 하지만 별로 대수적이질 않아. 집합이 있고 연산이 있고 뭐 그래야잖아? 그래서 2. 동치류를 생각하는 거야. 위 동치관계에 의한 동치류가 정확히 left coset이지. 그러면 20≠6이지만 20+7Z=6+7Z가 돼.

[Oo(175.208)]

결국 ideal I의 원소만큼 차이날 때 같은 것 취급하는 대수적인 방법이 바로 I의 left coset들을 모아 놓은 집합이 되는 거야. 이 집합에 덧셈 곱셈을 정의할 수 있긴 한데, 이게 잘 정의되려면 ideal이라는 추가적인 조건이 필요했건 거고. 끝.

[Oo(175.208)]

그러면 20으로 Z에서 하던 계산(덧셈 곱셈)을 20 대신 6으로 바꾸어 계산하면 원하는대로 결과가 나오는가가 남은 문제겠지. 그게 원하는대로 나오는 이유가 바로 canonical homomorphism pi: R->R/I의 존재하기 때문이야. 결국 우리가 처음 하고자 했던 ideal I만큼 차이나면 같은 것으로 취급하고 계산하고 싶다가 대수적으로 성공인거

[Oo(175.208)]

canonical homomorphism의 kernel은 I야. 이로부터 quotient는 ideal I의 원소들을 0 취급하고 싶을 때 하는 거라는 의미도 찾을 수 있지. 예를 들어 20=6+14에서 14 in 7Z니까 0 처리해서 20=6 같이 생각할 수 있게 돼. 물론 엄밀하게는 앞서처럼 left coset 레벨로 가야지.

[익명(163.239)]

친절한 답변 감사합니다

[익명(163.239)]

하나 궁금한게, ring이 정해지면 이에 ideal한 sub ring은 저절로 정해진다 보면(따라온다) 될까요?

[Oo(175.208)]

ㄴ질문이 이상해. Ring 안에는 ideal이 다양하게 있어. 그 중 어떤 ideal을 0 취급할건지는 어떤 상황을 고민하느냐에 따라 달린 선택의 문제인거지. 예를 들어 지금부터 100일 후는 무슨 요일인지 같은 문제를 해결하려면 ideal 7Z를 0취급해야 하는거지.

[Oo(175.208)]

상황에 따라서는 subring S를 0 취급하고 싶은데 이게 ideal이 되질 않으면 S로 generate되는 ideal로 quotient하면 돼. 상황 먼저 ideal 선택 나중인거지.

[수갤러 4(211.234)]

좀 머리가 아프긴한데 보고 다시 공부하면서 생각해볼게여 ㄱㅅㄱㅅ요