선대 정리들이 거의다 유한차원 가정하는데 무한차원은 언제 배워요?
[일반] 선대 의문점
익명(218.145)
2025-04-11 00:26
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예시를 따지자면 (미적분학-)해석개론이나 실해석학에도 나오고. 함수해석에서 아주 킹왕짱자주
고전적인 Lie algebra의 representation theory 공부해도 자주 봄
그렇다고 무한차원 선대를 딱히 따로 배우지는 않음.... 선대책에서 그냥 유한차원을 무한차원으로 바꿔도 괜찮은 부분만 쓴다고 생각하면 대충 맞음
vector space를 module로 일반화하고 나서도 유한차원과 비?스무리하게 finiteness를 갖는 개념과 정리들을 배우지. 그리고 선대때 배운 정리들의 유사버전들을 보게 됨. structure theorem for finitely generated modules over PID 같은
선대를 벗어난 일반적인 환경에서 finiteness를 배우게 됨. 대수학 시간에 finitely generated module 다루다가 base ring이 field면 그냥 유한차원 선대가 예시로 튀어나오는 거고. 미래에는 artinian이니 noetherian이니 finite projective module이니 그런 것들 ...
그러니까, 선대 책에서 유한차원 다 떼고나면 무한차원에 집중하는 시즌 2가 개막하나요? 물어본다면 그건 아님. 앞으로 무한차원 벡터공간을 만날 때는 대체로 선대책에서 유한차원 가정없어도 성립했던 정리들만 이용하게 될거임.
그럼 무한차원 안배우고 앞으로 뭘배우나요? 하면, 선대에서 유한차원 케이스가 풍부한 예시와 놀거리를 제공했듯이 좀더 일반적인 배경에서 우리가 갖고 놀 수 있는 좋은 성질들을 갖는 대상들을 공부할 거고 그 중에서 finiteness에 관련된 것도 있음. 그리고 이게 선대에서 유한차원이 제공하던 느낌과 비슷하게 느껴질 거임.
와, 정성스런 답변 진짜 감사합니다
일단 딱히 유한차원 가정이 없었으면 무한차원에서도 해당 정리를 사용할 수 있고 무한차원 벡터공간은 유한과 달리 흥미로운 성질이 몇 없기로 알고 있음 굳이 얘기하자면 함수해석학이 무한차원 선형대수라고 할 법 하네
감사합니다
무한차원을 다루려면 무한합을 고려해야 하는데, 해석학적인 접근없이 선형대수만으로는 무한합을 잘 정의하기가 어려움