임의의 범자연수 n에 대해서 n의 계승 n!은 n*(n-1)…*3*2*1 이다.

브로카 문제란


a!+1=b^2


를 만족하는 자연수 (a,b)가 (4,5) (5,11) (7,71) 말고 더 존재하는지 여부를 묻고 있다.


1. b가 짝수인경우


 위 식을 a^2=(b-1)(b+1)로 변형하자.

b가 짝수이므로 (b-1)과 (b+1)은 홀수이다.

그러나 a>1인 자연수에서 좌항이 반드시 짝수이므로 존재할 수 없다.


2. b가 홀수인경우


 마찬가지로 위 식을 a^2=(b-1)(b+1)로 변형하자.

a>3일때 우항의 2개의 단항식을 각각 2로 나눌 수 있다.

이를 다음과 같이 표현한다.


a^2/4 = m(m+1)


이때 m은 자연수이다.

그렇다면 이제 우리의 목표는 좌항의 소인수들의 합이 m과 m+1로 나누어 질 수 있는가를 확인하는것이다.

이때 차이가 1인 두 자연수는 서로소이므로 동일한 소인수를 포함해서는 안돤다.

2의 배수는 모두 한쪽에다 몰아서 포함시켜야 하고, 마찬가지로 3의 배수, 모든 자연수 h에 대해서 h의 배수는 한 항에 몰아서 포함시켜야한다.

따라서 (<a+1인 자연수중 소수의 합)(<a+1인 수중 그 외 나머지 모든 수)=m(m+1)이다.

이때 수가 증가할 수록 짝수는 반드시 2번중 1번 출현하고 수가 증가함으로서 좌변에 있던 항이 삭제되기도 한다

(좌변에 13이 있다가 a=26이 되면 13과 26모두 우항으로 넘어가야한다.)

따라서 둘의 차이는 1이 될 수 없다.



즉 a!+1=b^2의 해는 (4,5) (5,11) (7,71)으로 단 3개 존재한다.






위 증명에 잘못된게 있으면 알려주십쇼