Prove that −(−v) = v for every v ∈ V .
Proof: For any v ∈ V , by definition of additive inverse of −v, we have (−v) + (−(−v)) = 0. Adding v on both sides of the equation gives (∗) v + (−v) + (−(−v)) = v + 0 By definition of the additive inverse of v we know that v + (−v) = 0, so the left side of the equation (∗) equals 0 + (−(−v)). By commutativity, this equals (−(−v)) + 0. Finally, this equals −(−v) by definition of additive identity. Meanwhile, the right side of (∗) equals v by definition of additive identity. Therefore, the equality (∗) implies −(−v) = v.
이런 문제들 어떻게 시작조차 하는건지 모르겠음. 일단 주어진게 v라서 이 벡터를 이용해 공식을 증명하라 하는것 같은데 맞음?
더 이해 안되는게 생뚱스럽게 새로운 벡터 더하라는것 같은 closure under addition인데 쓸만한 소스나 프벅 참고 문제 모음집 있으면 댓글좀..
왜 교수님이나 조교한테 안물어보고 갤에다 물어보냐 할 수 있는데 수업 내용은 아래건데
x *⚡=⚡,⚡* x = x
교수님은 수업 내용에만 집중하면 된다고 하고 안알려줌. 엿먹은 기분.
역원의 정의에 입각해서 (v의 덧셈에 대한 역원)의 덧셈에 대한 역원이 v 자기자신이라는 걸 보이라는 거지. 수식으로쓰면 -(-v) = v 근데 역원 정의라는게, v + w = 0 = w + v 를 만족하는 w를 -v로 쓰기로 한 거니까 증명이 그런 식으로 흘러가는 거임 (물론 교재에 보면 이렇게 역원을 정의했을 때 벡터공간 성질에 의해 역원이 존재하고 유일하다는 내용이 있을 거임. 덧셈에 대해 abelian group이니까 당연)
-(-v) = v임을 보이는 건 거의 자명. -(-v)는 -v에 더했을 때 0이 되게끔 하는 원소니까, (-v) + v = 0 = v + (-v) 로부터 -(-v) = v가 됨
이제 너가 적은 증명을 보면 벡터공간에서 덧셈에 대한 역원이 유일하다는 사실을 갖다 쓰지 않고 여기에 대한 증명을 차용하고 있음. 예컨대 v + w = 0 = w+ v이고 v + u =0 = u + v이면, w + v + u = (w + v) = u = 0 + u = u 이면서 w + v+ u = w + (v + u) = w + 0 = w 이니까 w = u 겠지. 이게 너가 적은 부분에서 드러나는, 양변에 벡터를 하나 더하는, 테크닉과 일맥상통함
아니.. 이렇게 설명을 하는게 맞나
머가문제노
내가 보기에는 저렇게 아주 면밀하게 벡터공간이 만족해야할 공리들을 따져가면서 증명할 거면 associativity도 드러나게 했어야함. 그러니까, v + (-v) + -(-v))라고 함부로 쓰면 안되고 v를 더한 거니까 v + ( (-v) + -(-v) ) ) 라고 썼어야지 그리고 이게 ( v + (-v) ) + -(-v) = 0 + -(-v) = -(-v) 라는 식으로 갔어야함
그리고 증명에서 0 + (−(−v)) = -(-v) 를 보일 때 (−(−v)) + 0을 거쳐가는 이유를 모르겠네. 수업에서 0을 뭐라고 정의한거임
Additive Identity property 증명하려고 0을 거친다고 배움
무슨 말인지 모르겠음 원래 0를 v의 왼쪽에 더하나 오른쪽에 더하나 결과값이 v임 그게 0의 정의
"-(-v)=v"를 "마이너스 마이너스 브이는 브이다"처럼 읽지 말고, (-v) 부분을 하나로 묶어 ㅁ라 치고, "ㅁ의 역원이 v다"로 읽어야지. 무언가(=ㅁ)의 역원이 v라고 주장하고 있는거야. 역원의 정의가 뭐야? 더해서 0 나오게 만드는 거잖아? ㅁ의 역원이 v라고 주장하고 있으니 ㅁ에 v를 더해서 ㅔ이 나오는지 확인하면 되는거야.
이게 안 되는 학생들이 있더라. 정의는 전혀 이해 못하면서, 알맞은 공식을 떠올려서 답을 찾으면 수학 잘하는 걸로 착각하는 학생이 부지기수.
벡터공간의 정의를 잘 생각해보세뇨
주어진 v가 벡터다 이렇게 생각하는 것 보다 주어진 v가 벡터공간의 어떤 원소니까 벡터공간의 성질을 써야겠다 이런식으로 생각하면 좀 도움이 될수도