느낌을 전달하고자 워딩을 비전문적으로 작성함
ring homomorphism을 만족하는 함수 f: r->s에 대하여
s가 0이 되게하는 r값들의 집합인 kernel of f라는게 당연히 있는거고(따라오는거고).
그것들을 간격 삼아 r 원소들을 분할한게 r/ker f 인거고
f bar는 그 나뉘어 있는 애들을 기존 f(r)의 꼴로 되돌려주는 역할로 정의 되어 있는거고, 이 f bar는 well defined 된 injective ring homomorphism이며(isomorphism인가 그럼?),
s의 부분집합인 iamge of f와 image of f bar는 동일하다.
이건가
느낌이라 해봤자 그냥 따라읽은 정도라 본문에 할말은 없고 kernel은 그렇게 당연히 있다보단 그런게 (또)있다면 어떨까 하는 느낌에 가까움 그리고 무슨 책인데 ring부터 시작하냐
이해도가 느낌 레벨이라 이모양으로 밖에 못써요ㅜ
Paolo Aluffi!
Aluffi로 배우면 categorical하게 확장시키면 되지않음? Set, Grp, Ring, R-Mod 순으로 써져있을텐데
그 책은 모든 논지를 (의도적으로) 똑같이 만들어놨음. map에서, relation이 있고, relation에서 quotient가 있고, 특별한 어떤 것을 quotient로 보는 시각에서 1st iso. thm이 유도되는거임. Set에서 equivalence, Grp에서 normal, Ring에서 ideal, R-Mod에서 submodule은 각각 category가 주어졌을 때 이미 앞선 시각에서 그 특별함이 결정된거임
모든 일은 category 안에서 일어남. Ring.에서 R -> S는 ring hom.인 것이 전제임. surjective hom.을 끼워넣으면 R -> f(R) -> S고 셋 다 ring hom.이 되고 그냥 f(R) = S라고 친다. 이제 equiv. relation을 뽑고 싶은데 그건 ker f라는 좋은 object가 있으니 바로 정했고, R -> R/kerf -> S로 두고 싶지만, R -> R/kerf와 R/kerf -> S는 각각 group hom.이지 ring hom.으로 (아직)보이지 않음. ker f의 정의를 그대로 사용하면 두 group hom.이 사실 ring hom.이게 됨. 이게 1st iso.임
quotient도 똑같이, Grp.에서처럼 normal == kernel이니까 Ring.에서도 Grp.의 normal subgroup을 잡는다면? I ⊆ (R, +)라고 하면 I는 normal subgroup임. 그러나 R -> R/I는 group hom.이지 ring hom.으로 (아직)보이지 않음. group hom.으로부터 r |-> r + I인 map인걸 알지만 이것이 ring hom.이려면 r + I가 Ring.에서의 적절한 행동(internal operation)을 만족해야 함. I에 대해 정해진 바는 normal 밖에 없으니 (a + I)(b + I) := ab + I라는 조건을 하나 더 붙여서 Ring.에 어울리게 만든다면 Ring hom.이 됨. a, b를 이리저리 바꾸면ideal이 유도됨.
내가 혼자 떠들었네 Algebra chatper 0 보는 줄 알았다.
quotient 배우고 다시 봐보께
군 상에서는 f:G to H 가 group homomorphism이면 G/kerf≈f(G) 이건데 환에서도 걍 똑같음 별거없어