아래 물어본 질문, 생각해보면 증명을 적을 필요 없이 당연한거임


나도 맨처음 배울때 교수가 당연한거라고 trivial 이러고 증명 1도 안해주고 걍 지나가서 왜그러나 싶었는데 진짜로 정리 내용을 이해하면 애초에 증명할 필요 자체가 없으며 동일한 내용이 그룹 링 모듈 뭐 다른 뭘로 갖다 놓더라도 동일하게 성립함


이유가 뭐냐? 일단 귀찮으니 다 한국말로 적고 위에 것도 이소 정리라고 하겟음. 

셋에서나 토폴로지에서는 구조가 강력하게 제한하는 요건이 없지만 대수적인 구조에서는 1투1을 보일려면 커널이 0인걸 보이면됨 그게 끝임. 커널이 얼마나 인젝션이냐이고 코커널이 얼마나 설젝션이냐의 정도니까

그러면 맵이 있을때 이게 1투1인걸 보인다? 그러면 커널이 0임을 보이면 됨. 주어진 맵에서 근데 구조/커널 을 해서 만든 홈은 당연히 왤디파인이고 커널은 당연히 0임. 왜냐? 커널로 나눴으니까. 0이 나올만한 애는 죄다 커널에 넣었기 때문에 0바 외에는 0으로 갈게 없음. 따라서 1투1이고 이미지=도메인/커  아이소가 자동적으로 성립


그리고 나서 다이아몬드에서는 가령 그룹에서는 HN 링에서는 S+I 로 비슷하게 정의하고 각기 N이랑 I가 노멀이랑 아이디얼 즉 그룹 링에서 커널에 해당하는 구조

그러면 둘로 제너레이트하는 미니멀 그룹/링이 각기 위에 쟤들이 되고 N or I로 프로젝션하고 위에 1번 이소 정리를 쓰는게 다이아몬드


비슷하게 tower 에서 한게 3번 이소 정리

일반적인 래티스 구조에서하는게 대응 이소 정리 등등. 당연하지만 여러곳에서 다 동일한 방법론을 쓰기 때문에 동일한 형태의 결과를 공유함. 일일이 풀필요도 없고 당연. group ring module algebra vectorspace 다 똑같은 내용이 다 동일하게 등장함.


학부대수에서 다루는게 어느정도 편차는 있지만 기본적으로 정의+성질+약간 더 나간거가 대부분 절반 이상임. 나머지는 약간씩 다른내용 첨가되고 실로우나 그런 카운팅 종류도 있지만 기본적으로 정의에서 바로 유도되는 성질들은 따로 증명할 필요가 전무한 것들이라 보임. 따라서 증명을 숙지한다기 보다는 대수의 방법론에 익숙해지는 과정이라고 보고 크게 보고 익숙해지는걸 목표로하는게 좋을거 같음. 

그리고 공유되는 기본 그 성질이 diagram이나 그런걸로 많이 나오고 많은 대수책들에서 그냥 생략하는경우도 그래서인듯. 가령 group만 보더라도 def subgp quotient hom ker coker normal sgp  iso thm diamond lattice product coproduct chain radical nilpotent 그런거는 동일한선상에서 나오고 다 똑같은 방법론을 그대로 


더 깊이 대수를 배울사람은 배우겠지만 아닐사람한테는 모듈까지만 배우면 알바노니까. 연구는 하지말고 그냥 찍먹하는정도로 무슨 개념이 왜있느냐 정도만 파악하고 공부하고 그런게 있었지 하고 잊어버리는게 나을거라고 생각