교수님이 수업에서
ΔA=½r²Δθ
->dA=½r²dθ
로 부채꼴 근사해서 넓이 적분하던데
그럼 arc length도
ΔL=rΔθ
->dL=rdθ
로 하면 왜 안되는 건가요
√{(dy/dθ)²+(dx/dθ)²} 으로 계산한 값이 당연히 더 정확한 답인 건 알겠는데, 넓이 구할땐 부채꼴로 구해도 괜찮지만 호의 길이로 보면 차이가 나는 이유를 모르겟읍니다..
아니면 넓이도 원래 다른 방법으로 구해야 엄밀하지만 그냥 부채꼴 근사한거랑 결과적으로 답이 같아서 이걸로 설명한걸까요
내용이 정확하지 않지? arclength는 식이있는데 그걸 따르는게 맞고 쓰고싶은 게 있다면 증명해서 쓰면됨. change of variable substitution하면됨
본문에도 적어뒀지만 저 식을 따르는게 당연히 더 맞다는 건 알고 있습니다... 넓이는 괜찮았지만 arclength는 안되는 괴리가 왜 생기는지 궁금해서 질문 올렷던 거에요
'좋은 근사'가 아니라서 그럼 편의상 친숙한 y=f(x)를 예시로 들어봄. y=f(x) 그래프 밑의 넓이를 구할 땐 step function으로 근사해서 계산해도 넓이가 잘 나왔지만 arc length 구할 땐 그렇게 안 하고 그래프 상의 점들을 이어서 근사했지? 만약 너가 y=f(x) 그래프의 길이를 구하려고 step function으로 근사했다고 해봐. 그리고 f(x)를 너 맘대로 늘이고 줄이고 변형시키는거지. 그럼 당연히 arc length도 변하겠지? 그런데 step function의 총 길이는 항상 b-a로 일정할거고, 그럼 이 근사는 변화의 정보를 잘 담고 있는 근사가 아닌거지.
반면 넓이를 구할 땐 step function으로 근사해도 f(x)가 변하면 이번엔 step function의 각 계단들의 함숫값이 변해서 (가로)X(세로)의 값은 변하겠지? 그래서 넓이를 구할 땐 step function으로 근사하는게 좋은 근사가 되는거고
와 이렇게 설명하니까 바로 이해했습니다 ㅋㅋ 좋은근사인지 아닌지, 즉 적분이 올바르게 수행되었는지 확인하는건 언급하셨던 것처럼 어느정도 직관에 의존할 수 밖에 없는건가요? 아니면 나중에 다른 엄밀한 방법들이 또 등장하나요?
넓이는 함수를 적분하는거니 함숫값만 서로 비슷하면 넓이도 서로 비슷한데, 곡선 길이는 공식에 미분이 껴있어서 단순히 함숫값만 비슷하다고 길이가 비슷한게 아니라 도함수끼리도 서로 비슷해야함. 호의 길이로 근사하면 도함수가 비슷하지 않아져서 넓이는 근사가 되는데 길이는 근사가 안 됨