[대학교이상] 근사는 그냥 받아 들여야 돼?

[익명(wore8176)]

lim_{x→0} sinx/x 같은 거 증명할 때 x가 매우 작을 때 sinx≒x로 해서 저 극한이 1이라는 걸 증명하잖아

직관적으로 그림으로 보면 아 그럴 거 같네 하지만 속으로는 진짜 x가 존나 작으면 둘이 비슷하다고? 하는데

걍 받아 들여야 돼? 아님 따로 근사에 대한 증명도 있나?

https://youtu.be/kCPVBl953eY?feature=shared

Lec 3 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007

이 영상 후반부에 저 극한에 대한 기하학적 증명이 나오는데 그거 보고 든 생각임

[구거싫어(mytop914)]

칼큘러스때 저 극한 배우지 않나?

[익명(wore8176)]

샌드위치로도 증명하긴 하던데 근사 자체에 의구심이 있던 상태에서 저거 보니까 생각나서

[익명(wore8176)]

테일러 정리가 대략 근사랑 비슷한 거 같은데 미적분학 시간에 처자서 기억이 안 남...

[뉴비(175.116)]

원래 어떻게 증명했더라 까먹었는데 설명좀. 근사 말고 0으로 갈때 래시오 1되는거 어떻게 증명했더라 기하로는 위에 바운드 아래 바운드 하고 sin 1 하는거였나?

[익명(211.235)]

결국 극한으로 이야기 되는건데 극한이 뭐지?

[익명(wore8176)]

x≠0일 때, x→0에 한 없이 가까워질 때 f(x)→f(0)으로 한 없이 가까워진다?

[익명(211.235)]

로피탈ㄱㄱ

[익명(wore8176)]

로피탈 쓰면 뚝딱이긴 한데 여러 방법으로 증명하고 싶음

[익명(aa1604)]

나같은 경우는 엡델의 이중 부정으로 생각하니까 좀 납득이 됐음 엡델을 부정하면 x가 a로 갈 때 x를 뭔 난리를 쳐도 f(x)랑 f(a) 사이에 틈이 존재해서 그 간격 엡실론을 제시할 수 있다는게 되는데 이걸 또 부정하면 x를 잘 제시하면 f(x)랑 f(a) 사이에 도저히 틈을 찾을수가 없다는 뜻이 됨

[익명(wore8176)]

아 이러니까 대충 뭔 말인지는 알겠네 ㄱㅅㄱㅅ

[수갤러 1(210.107)]

뭔소리지.. sinx/x ->1이니까 sinx ~x 이라고 근사를 하는거지 왜 논리를 거꾸로 가냐

[수갤러 1(210.107)]

별개로 의문이 든다면 테일러급수의 오차를 계산해서 직접 보이면 되긴함

[익명(wore8176)]

sinx/x→1이니까 sinx≒x라고 근사하는 거임? sinx/x를 해보니까 1이 나오고 x가 매우 작을 때 sinx≒x라는 특징이 나왔다 이건가

[수갤러 1(210.107)]

ㅇㅇ;;

[익명(wore8176)]

강의에서 sinx 미분 증명 하고 sinx/x 증명하고 근사하니까 헷갈린 듯 ㄱㅅㄱㅅ

[Oo(175.208)]

(sin x)/x -> 1임을 이용해서 sin x의 미분이 cos x가 된다는 거 증명하는 거야. 그걸로 테일러 전개도 하고 그러는 거고. 그러니 순횐논법 빠지면 안 돼

[익명(wore8176)]

고딩 수학때 무지성 암기하다가 대학 수학하니까 대가리 너무 아프네요.. 근데 sinx/x가 먼저면 왜 저 강의에서 sinx미분을 먼저 증명하고 sinx/x를 증명하나요?

[Oo(175.208)]

강의 봤는데 너가 오해한거야. 그 극한이 1인걸 잠시 가정하면 sin x 미분이 cos x가 된다는거지. 그래서 나중에 (sin x)/x가 인 거 다른 방법으로 증명하는거고.

[익명(wore8176)]

아 a, b로 따로 빼놓고 나중에 증명한 게 이거였구나 감사합니다

[Oo(175.208)]

그래 이제 제대로 이해했네.

[익명(wore8176)]

아 remark 해서 다시 상기시키고 그거 증명하는 거였네요 ㄹㅇ 님 아니였음 강의 대충 들을 뻔 했네요

[익명(episode5899)]

sinx 정의가 뭐라생각함 - dc App

[익명(wore8176)]

단위원에서 x가 레디안 단위일 때 y의 값..?

[익명(episode5899)]

그건 고등학교에서 정의인데 기하적으로 sin x 정의하면 순환논리에 빠지게 됨 (고등학교 교과서는 이를 적당히 얼버무리고 넘어감) 해석학 이상에서는 sin x를 그 테일러 급수로 "정의"함. 즉 sin x 정의가 x - x^3 / 6 + ... 이라는 말임 따라서 lim_{x to 0} sin x / x = 1은 정의에서 나오지 - dc App

[익명(episode5899)]

전공자면 이렇게 알고있어야 하고, 아직 미적분학이면 안 엄밀하게 하는게 맞기 때문에 그냥 그런갑다 하고 적당히 엄밀성을 타협하여 받아들이셈 - dc App

[익명(wore8176)]

고딩때 걍 그렇게 받아들여라 해서 대학 오면 엄밀한 증명 배우겠지 했는데 어렵네요.. 일단 그런갑다하고 넘겨야겠네요 야밤에 고맙습니다

[익명(episode5899)]

근사에 대해서도 나중에 배울일이 있을것인데, sin x = x + o(x) 라는 표기를 씀. 이는 sin x와 x의 차이를 x로 나눈게 0으로 간다는 소리고 즉 sinx/x 극한이 1이라는 말임. 잘생각해보면 고딩때 했던 "근사"들 전부 이 맥락임.. - dc App

[익명(wore8176)]

고맙읍니다....

[익명(episode5899)]

저 강의에서 어떤식으로 했는지는 영상 안봐서 모르겠으나 미적분학은 엄밀함을 추구하는게 목적이 아니기 때문에 그냥 학생 이해를 돕는 차원에서 편리한 방식대로 설명했다고 생각함 - dc App

[익명(wore8176)]

1학년 수준, 그리고 수학과 학생들만 듣는 게 아니다 보니 실용적으로 강의하나 보네요