[중고딩문제] 학원쌤이 알려준 나머지정리 스킬 원리를 모르겠어요

[익명(118.235)]

x⁷+x⁴+x²-1을 x³-1으로 나눈 나머지를 구하라는 문제에서

학원쌤이 알려준 스킬

x³=1을 원식에 대입하라

그러면

x+x+x²-1 따라서 x²+2x-1 이 답이다

라는데 원리를 물어봐도 나머지정리는 영되는거 넣으면되는거니까 원리라 할 것도 없이 당연한거라고하는데

이해가 안돼요. 원리가 뭔가요?

- dc official App

[수갤러 1(121.184)]

x7+x4+x2-1=(x3-1)Q(x) + r 이니까 x3=1 을 양변에 넣으면 r 만 남는 거 아닌가요?

[익명(118.235)]

고딩 나머지정리에선 하나의 복소수를 대입하는 행위만 하지 전체를 치환해서 넣는 행위는 안함 - dc App

[익명(1.227)]

필드익스텐션이 생각나는구만

[갱생실패리카(lillollool)]

ㄹㅇ이

[익명(118.235)]

당연한거아니고 모듈러연산의 성질임 - dc App

[익명(118.235)]

x³을 x³-1로 나눈 나머지가 1이니까x³=1 (mod x³-1)라 쓸 수 있음.모듈러연산 성질에 의해 같은수 양변에 곱해도 성립x⁷=x (mod x³-1)x⁴=x (mod x³-1)그리고 나머지두항은 x³-1보다 낮은차수니까 그냥x²=x² (mod x³-1)-1=-1 (mod x³-1)모듈러연산 성질 a=b mod p & c=d mod p => a+c=b+d mod p 이용하면x⁷+x⁴+x²-1=x+x+x²-1 (mod x³-1) - dc App

[수갤러 1(121.184)]

오 위에 풀이 신기하네요.. 근데 만약에 x7+x4+x2-1=(x-1)(x2+x+1)Q(x) + r 이렇게 쓰고 양변에 x 대신에 1을 대입해서 r=2 다 이러면 어디가 틀린건가요?

[익명(1.227)]

그건 x-1로 나눈거지 x^3-1로 나눈게 아님

[흑화뉴비(coderhs)]

ㅇㅇ 첫 식이 거짓이라.. r 부분이 2차식임 - dc App

[수갤러 1(121.184)]

네네 3차오 나눴으니까 r이 2차 이하인 건 저도 머리로는 아는데.. 나눈셈 식을 써놓고보니 x3-1을 (x-1)(x2+x+1)로 인수분해가 되서 식 자체 표현만으로 보면 위에 써놓은 저런 식으로 될 거 같아서;; 거기다가 x=1을 넣으면 r은 2차 이하인데 숫자 2로 나오길래 머가 틀린 거 같긴 한데 왜 틀렸는지 잘 모르겠어서여;;

[익명(211.234)]

니가 말한 r이 사실은 r(x)인 거고 x=1 넣으면 r(1)=2 인 거임

[수갤러 1(121.184)]

아하 r(1)을 구한거군여.. 이제 이해가 됐습니다 감사합니다..

[Oo(118.235)]

x^7=x^4(x^3-1)+x^4=x^4(x^3-1)+x(x^3-1)+x 이런 식인거야. 그저 나눗셈을 했을 뿐이고, 나머지만 원하니까 x^3-1은 없는 셈 치는 거고. 즉, x^3만큼을 1로 치는거지. 이런 거 중고딩 때 필요 없다.

[ScARfaCE(kayuaao)]

괜히 혼동하구로 뭐 그런걸 알려주노 알려줘도 제대로 이해를 시켜줘야 써먹지 ㅋㅋㅋ