[대학교이상] 테일러 부등식에 관한 간단 질문...

[익명(119.196)]

위의 부등식이 성립한다는 건 알겠는데, 왜 쓸모 있는건가를 찾아봤는데

1. 나머지 항 Rₙ(x)의 상한을 제공. 이를테면 R₄(x)의 상한 값이 필요할 때.

2. 테일러 급수가 f(x)로 수렴함을 보이기 위함(n → ∞일 때 위의 부등식의 우변이 → 0이므로 압축 정리에 따라 Rₙ(x) → 0임을 보일 수 있음).

인지 궁금합니다. 

--- 수정 (thomas 책에서 테일러 부등식 추가) ---

[익명(119.196)]

테일러 부등식이 성립하면 테일러급수가 f(x)로 수렴한다는 점 외에, |x-a|≤d로부터 a-d≤x≤a+d에서, 즉 a를 기준으로 좌우로 d만큼에서 오차 |Rₙ(x)|의 상한(테일러 부등식의 우변)을 알려준다고 이해하면 될까요?

[익명(119.196)]

테일러 부등식이 성립한다고 해서 테일러 부등식의 우변이 항상 0으로 접근하는 건 아닌가? AI 오락가락해서 헷갈림...

[익명(106.101)]

예를 들어 sin1을 대충 소수 셋째짜리까지 구하고 싶은데 그럼 테일러 근사를 삼차까지 할지 오차까지 할지 어떻게 알까? 그럴 때 저 부등식을 쓰면 됨

[익명(119.196)]

넵 그게 1번인 거 같습니다

[익명(106.101)]

ㅇㅇ 1번 이유가 핵심이란 말을 하고 싶었음

[익명(106.101)]

2번도 이론적으로는 매력적이지만 사실 우리가 잘 아는 해석함수들은 이미 급수전개가 잘 되는 애들을 더하고 곱하고 나눠서 만드는 것 정도라 실제로는 테일러 나머지항으로 급수 수렴성을 따질 일이 많이 없음

[수갤러 2(118.235)]

감사합니다. 근데 2번에서 우변이 항상 0으로 수렴하는 건 맞나요?

[익명(106.101)]

ㄴㄴ 안 될 수도 있고 될 수도 있음. 물론 우리가 잘 아는 함수들은 전부 0으로 가겠지만

[익명(119.196)]

테일러 부등식이 성립한다고 하더라도 0으로 수렴 안할 수 있다는 말씀이신가요?

[익명(119.196)]

|x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!이 모든 x에 대해 0으로 수렴하니까 항상 0으로 수렴하지 않나요?

[익명(112.148)]

n이 바뀌면 M도 바뀌는데 M이 너무 빨리 커지면 수렴하지 않을 수도 있지

[익명(119.196)]

M은 n과는 독립적인 상수로 두지 않나요? 사실 원래 그림은 stewart 책인데 상수임이 명확하게 나와있지 않아서, 참고용으로 Thomas것도 올렸습니다 본문에 따로 올려두었습니다.

[익명(112.148)]

저 M이 n과 무관하면 0으로 가는게 맞음. 근데 일반적으로 저런 M을 n과 무관하게 잡을 수 있느냐하면 그건 아님

[익명(119.196)]

넵 답변 감사합니다. 저 정리에서는 그런 M을 잡을 수 있다는 가정을 두고 있는거니까...

[익명(119.196)]

아닌가 그런 가정은 아닌것 같은데 다시 보니... 모든 n에 대해 그런 M을 찾을 수 있어서 테일러 부등식이 성립한다고 해서 M이 분모보다 더 느리게 증가한다는 건 아니잖아

[익명(119.196)]

말이 좀 애매하게 쓰여진 거 같은데..

[익명(119.196)]

M이 상수라고 되어 있긴한데 그건 특정 n에 대해서 상계로서 M이 존재한다고 해두기위함인거 같고..

[상경(global9484)]

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