덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 다르다는 조건은 왜 필요한거죠?
chat GPT 에게 물어보니 만약 덧셈에 대한 항등원과 곱셉에 대한 항등원이 다르다는 조건이 없으면
모든 원소 a 에 대해서 a0=0과 a1=0 이 성립하게 되어 모든 원소가 0이 되어버린다.. 라고 설명이 나오는데..
근데 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원은 굳이 다르다는 조건이 없어도
모든 원소 a에 대해 a 와 곱해서 a가 되는 건 (곱셈에 대한 항등원) 자동적으로 덧셈에 대한 항등원인 0 이 될 수 없는 거 아닌가요?
이 조건이 왜 필요한지 모르겠습니다 ㅠㅜ
그게 같은 ring은 zero ring이라는 자명한 경우밖에 없어서 그럼 - dc App
아 그럼.. 일단은 그냥 넘기고.. 나중에 대수 공부할때 봐도 되겠네요.. 감사합니다..
1=0이면 모든 원소가 0이라서
모든 원소가 0이라는 소리는 결국 그 집합이 0하나만을 원소로 가진다는 소리임. 즉 우리가 기대하는 수 집합이 안만들어진다는 소리임.
다르다는 조건은 따로 필요하긴한거라고 받아들이셈
필드 공리에서 덧셈에 대한 항등원(0)과 곱셈에 대한 항등원(1)이 다르다는 조건이 필요한 이유는 다음과 같습니다:만약 덧셈의 항등원과 곱셈의 항등원이 같다면(즉, 0 = 1이라면), 모든 원소가 같아지는 문제가 발생합니다. 이를 증명해 보겠습니다:덧셈의 항등원을 0, 곱셈의 항등원을 1이라 하고, 0 = 1이라고 가정해 봅시다.필드의 임의의 원소 a에 대해 생각해 봅시다.필드의 공리에 따르면: a × 1 = a (곱셈 항등원의 성질)우리 가정에 의해 1 = 0이므로: a × 0 = a그러나 필드의 또 다른 공리에 따르면: a × 0 = 0 (덧셈 항등원과 곱의 성질)그러므로 a = 0즉, 0 = 1이라는 가정 하에서는 필드의 모든 원소가 0(또는 1)과 같아지게 됩니다. 이것은 필드의 정
claude 에게 물어보니 이렇게 얘기해주네요.. 담부턴 claude도 같이 써봐야;;
헉 field with 1 element... 너 재능있어 이대로 대수퍼거가 돼
1≠0이면 모든 field가 integral domain이 돼서 기분이 좋아짐