학교 수학교육과 수학 경시대회에 관한 비판적 고찰

제가 "수학 분야의 필즈상 수상자들이 바라본 학교 수학교육"에서 언급했듯이, 학교 수학은 보통 수학적 실무의 모습을 심하게 왜곡하여 보여줍니다. 영리한 젊은이들이 수학 경시대회에 참가하는 것은 흔한 일이며, 이는 수학적 실무에 더 가까운 활동입니다. 불행히도, 수학 경시대회가 학교 수학보다 수학적 실무를 더 잘 대표할 수 있을지 모르지만, 수학 경시대회 자체도 매우 오해의 소지가 있습니다. 게다가, 이런 대회들은 "천재성"에 대한 오해의 소지가 있는 신화적 개념과 연결되어 있습니다. 저는 관련된 인용문들을 아래에 모았습니다.

감사의 말 - 이 인용문 중 일부는 제 동료 로렌스 구나르센이 편집한 수학자 인용문 모음집에서 가져왔습니다.

2003년 인터뷰에서, 필즈상 수상자 테렌스 타오는 다음 질문에 답했습니다.

"수학을 시작하는 젊은이들(즉, 고등학생과 젊은 연구자들)에게 어떤 조언을 해주시겠습니까?"

그는 이렇게 대답했습니다:

"음, 저는 그들이 전문적인 수학이 어떤 것인지에 대한 인상이 현실과 매우 다를 수 있다는 것을 경고하고 싶습니다. 초등학교 때 저는 전문 수학자들이 파이의 자릿수를 계산하는 데 시간을 보낸다거나, 아니면 아마도 수학 올림피아드 스타일의 문제를 고안하고 해결하는 데 시간을 보낸다는 막연한 생각을 가졌습니다."

수학자 G.H. 하디는 "수학 트리포스(Mathematical Tripos)에 대한 비판"에서 다음과 같이 썼습니다:

"트리포스 수학은 정교한 무용지물의 모음이라고 종종 말해져 왔으며, 이 비난은 대체로 사실입니다. 제 개인적인 의견은 이것이 높은 기준과 전통을 가진 수학 시험에서 불가피한 결과라는 것입니다. 시험관은 응시자의 능력과 지식을 테스트하는 것에 만족해서는 안 됩니다; 그의 지시는 그 이상의 것, 즉 주도성, 상상력, 심지어 일종의 독창성도 테스트하는 것입니다. 그리고 수학에서 독창성을 테스트하는 유일한 방법은 독창적인 작업을 수행하는 것이기 때문에, 22세의 젊은이에게 시험 조건 하에서 독창적인 연구를 수행하도록 요구하는 것은 무용지물이기 때문에, 시험은 필연적으로 일종의 게임으로 변질되고, 그것을 위한 교육은 일련의 묘기와 트릭에 대한 입문으로 변질됩니다."

수학자 고로 시무라는 자신의 저서 "내 인생의 지도"에서 입시학원에서 가르친 경험에 대해 다음과 같이 썼습니다:

"저는 많은 시험 문제들이 인위적이고 몇 가지 영리한 트릭을 요구한다는 것을 발견했습니다. 저는 그런 유형을 피하고, 표준 기술과 기본 지식으로 해결할 수 있는 더 직접적인 문제들을 선택했습니다. 수학 올림피아드라는 경시대회가 있는데, 여기서 참가자는 제가 피했던 유형의 어려운 문제들을 풀도록 요구받습니다. 그런 경시대회가 존재 이유를 가질 수 있지만, 저는 수학에 진지하게 관심이 있는 젊은이들이 그것을 무시해도 아무것도 잃지 않을 것이라고 생각합니다."

앤드류 와일즈는 2001년 국제 수학 올림피아드에서의 강연에서 수학 경시대회가 수학적 실무를 어떻게 대표하지 못하는지에 대해 다음과 같이 설명했습니다:

"여러분을 이 행사뿐만 아니라 많은 이들이 황금기라고 믿는 더 넓은 수학의 세계로 환영합니다. 그러나 여러분이 지금까지 어떤 경로를 걸어왔든, 수학의 진정한 도전은 아직 여러분 앞에 있다는 것을 경고하고 싶습니다. 저는 여러분에게 이에 대한 일별을 제공하고자 합니다. 그렇다면 우리 전문 수학자들이 하는 수학과 여러분이 지난 주에 맞닥뜨린 수학 문제들은 무엇이 다를까요? 저는 주로 규모와 참신성이라는 두 가지 차이점이 있다고 생각합니다. 먼저 규모에 대해: 여러분이 방금 참가한 것과 같은 수학 대회에서는 시간과 서로 경쟁합니다. 13, 14, 15세기에 수학자들이 서로 시간을 두고 결투를 벌이던 시기가 있었지만, 요즘에는 그런 관습이 없습니다. 사실 시간은 여러분의 편입니다. 그러나 단거리 달리기에서 마라톤으로의 전환은 새로운 종류의 지구력과 근본적으로 다른 성격 테스트를 요구합니다. 우리는 5번 연속 올림픽 대회에서 금메달을 딸 수 있는 사람을 존경하는데, 그것은 원시적인 재능 때문이 아니라 그러한 지속적인 기간 동안 목표를 추구할 수 있는 의지력과 결단력 때문입니다. 진정한 수학 정리를 증명하려면 노력의 기간을 월 단위로 측정하든 년 단위로 측정하든 같은 지구력이 필요할 것입니다 [...]

두 번째 주요 차이점은 참신성입니다 [...] 새로운 수학을 창조하는 것은 대회에서 문제를 푸는 것과는 완전히 다른 직업이라는 점을 강조하고 싶습니다. 왜 그럴까요? 왜냐하면 여러분이 무엇을 증명하려고 하는지, 또는 그것이 사실인지 확실히 알지 못하기 때문입니다."

필즈상 수상자 윌리엄 서스턴은 자신의 "수학 교육" 에세이에서 다음과 같이 말했습니다:

"조숙함과 관련하여, 수학을 경주나 운동 경쟁으로 생각하는 대중적인 경향이 있습니다. 널리 퍼진 고등학교 수학 리그가 있습니다: 지역 고등학교 팀이 정기적으로 만나 몇 가지 문제를 받고, 한 시간 정도 그것을 풀 시간을 갖습니다.

또한 주, 국가, 국제 대회도 있습니다. 이러한 대회는 성공하는 사람들에게 재미있고, 흥미롭고, 교육적으로 효과적입니다. 그러나 그들은 또한 단점이 있습니다. 대회는 '좋은 수학 유전자를 가지고 있거나' 그렇지 않다는 개념을 강화합니다. 그들은 깊고 사려 깊은 것을 희생하면서 빠른 것에 중점을 둡니다. 그들은 체계적이고 지속적인 접근이 중요한 더 현실적인 문제보다는 어떤 숨겨진 트릭이 있는 퍼즐 같은 질문을 강조합니다. 이는 빠르지 않거나 연습이 부족하지만 시간을 갖고 문제를 생각할 때 잘할 수 있는 많은 사람들을 낙담시킵니다. 대회에서 최고의 성적을 거둔 일부는 훌륭한 수학자가 되지만, 대회 수학에서 그다지 좋지 않았던 많은 우수한 수학자들도 있습니다.

빠름은 수학에 도움이 되지만, 그것은 도움이 되는 많은 자질 중 하나일 뿐입니다. 수학자가 되지 않는 사람들에게는 대회 수학의 기술이 아마도 더 관련성이 적을 것입니다. 이러한 대회는 철자 맞추기 대회와 같습니다. 좋은 철자법과 좋은 글쓰기 사이에는 약간의 연관성이 있지만, 주 철자 맞추기 대회의 우승자가 반드시 좋은 작가가 될 재능을 가진 것은 아니며, A 훌륭한 작가들 중에도 철자에 능숙하지 않은 사람들이 있습니다. 좋은 철자법과 좋은 글쓰기 사이에 대중적인 혼란이 있다면, 많은 잠재적 작가들이 불필요하게 낙담할 것입니다."

필즈상 수상자 티모시 가워스는 그의 책 "수학: 아주 짧은 소개"에서 다음과 같이 씁니다:

"수학자에 대한 부정적인 묘사가 해롭다면, 그것은 주제를 즐기고 잘할 수 있는 사람들을 낙담시키는 것이지만, '천재'라는 단어가 주는 피해는 더 교묘하고 아마도 더 클 것입니다. 여기 천재에 대한 대략적인 정의가 있습니다: 다른 사람들이 수년간의 연습 후에도, 또는 전혀 할 수 없는 일을 쉽게, 그리고 어린 나이에 할 수 있는 사람. 천재의 성취는 일종의 마법적인 특성을 가지고 있습니다 - 마치 그들의 뇌가 우리보다 더 효율적으로 작동할 뿐만 아니라 완전히 다른 방식으로 작동하는 것처럼 보입니다. 매년 또는 2년마다 케임브리지에는 대부분의 사람들, 심지어 그들을 가르치는 사람들조차도 몇 시간 이상 걸리는 문제를 몇 분 안에 정기적으로 해결할 수 있는 수학 학부생이 도착합니다. 그런 사람을 만나면, 할 수 있는 일은 뒤로 물러서서 감탄하는 것뿐입니다.

그러나 이러한 비범한 사람들이 항상 가장 성공적인 연구 수학자는 아닙니다. 다른 전문 수학자들이 당신 전에 시도했지만 실패한 문제를 해결하고 싶다면, 필요한 많은 자질 중에서, 제가 정의한 천재성은 필요하지도 충분하지도 않습니다. 극단적인 예로 설명하자면, 약 40세의 나이에 페르마의 마지막 정리(x, y, z, n이 모두 양의 정수이고 n이 2보다 클 때, xⁿ + yⁿ은 zⁿ과 같을 수 없다고 말하는 정리)를 증명하고 그로써 세계에서 가장 유명한 미해결 수학 문제를 해결한 앤드류 와일즈는 틀림없이 매우 똑똑하지만, 제가 말하는 의미에서의 천재는 아닙니다.

어떻게, 당신은 물을 수 있습니다, 그가 어떤 종류의 신비한 추가 두뇌력 없이 그가 한 일을 할 수 있었을까요? 답은 그의 성취가 놀라웠지만, 설명을 불가능할 정도로 놀라운 것은 아니라는 것입니다. 저는 그가 성공할 수 있었던 정확한 이유를 알지 못하지만, 그는 큰 용기, 결단력, 인내심, 다른 사람들이 한 매우 어려운 작업에 대한 폭넓은 지식, 올바른 시간에 올바른 수학 분야에 있었던 행운, 그리고 뛰어난 전략적 능력이 필요했을 것입니다.

이 마지막 자질은 궁극적으로 기이한 정신적 속도보다 더 중요합니다: 수학에 대한 가장 깊은 공헌은 종종 토끼보다는 거북이에 의해 이루어집니다. 수학자들이 발전함에 따라, 그들은 다른 수학자들의 작업에서 부분적으로, 그리고 수학에 대해 생각하는 데 많은 시간을 보낸 결과로 부분적으로 다양한 직업의 요령을 배웁니다. 그들이 자신의 전문 지식을 사용하여 악명 높은 문제를 해결할 수 있는지 여부를 결정하는 것은 대체로 신중한 계획의 문제입니다: 결실을 맺을 가능성이 높은 문제에 도전하고, 언제 생각의 흐름을 포기할지 아는 것(내리기 어려운 판단), 가끔씩만 세부 사항을 채울 수 있기 전에 논쟁의 대략적인 개요를 그릴 수 있는 능력 등입니다. 이것은 천재성과 전혀 모순되지 않지만 항상 동반하지는 않는 성숙도 수준을 요구합니다."

"수학을 하려면 천재가 되어야 하나요?"에서 테렌스 타오는 가워스에 동의하고 같은 주제를 확장합니다.

필즈상 수상자 알렉산더 그로텐디크는 자신의 관련 경험을 "수확과 파종(Récoltes et Semailles)"에서 다음과 같이 설명합니다:

"그 이후로 저는 저를 환영해 준 수학의 세계에서 제 '선배들'과 제 또래의 젊은이들 중에서 저보다 더 뛰어나고, 훨씬 더 '재능 있는' 사람들을 꽤 많이 만날 기회가 있었습니다. 저는 그들이 마치 놀이하듯이 새로운 아이디어를 습득하고, 마치 태어날 때부터 익숙한 것처럼 그것들을 가지고 노는 방식에 감탄했습니다-반면에 저 자신은 둔하고, 심지어 어색하게 느껴지며, 고통스럽게 험난한 길을 헤매며, 제가 배워야 할 것들(그래서 저는 확신했습니다)의 무정형의 산을 마주한 멍청한 소처럼 느껴졌습니다-제가 본질을 이해하거나 끝까지 따라갈 수 없다고 느낀 것들이었습니다. 사실, 저에게는 명망 있는 대회에서 이기거나 거의 손짓만으로도 가장 위험한 주제를 흡수하는 종류의 똑똑한 학생이라고 식별할 만한 것이 거의 없었습니다.

사실, 제가 저보다 더 뛰어나다고 판단한 이 동료들 대부분은 저명한 수학자가 되었습니다. 그래도 30년 또는 35년의 관점에서 보면, 저는 그들이 우리 시대의 수학에 남긴 흔적이 그리 깊지 않다고 말할 수 있습니다. 그들은 이미 그들 앞에 놓여 있던 맥락에서, 그들이 방해할 의향이 없었던 맥락에서, 모든 일을, 종종 아름다운 일을 해냈습니다. 그것을 알아차리지 못한 채, 그들은 특정 시대의 특정 환경의 우주를 제한하는 보이지 않는 전제적인 원의 포로로 남아 있습니다. 이 경계를 깨기 위해 그들은 자신 안에서 그들의 생득권이었던, 그리고 제 것이었던 그 능력을 재발견해야 할 것입니다: 혼자 있을 수 있는 능력."








타오 블로그에 링크 된 글을 chat GPT 돌려서 번역했습니다.. 꽤 길어서..


여기서 그동안 여러 횽아들이 했던 얘기들이 종합적으로 잘 정리되어 있네요..