wave equation과 그 해 u에 대해서
1. 차원이 n>=3인 홀수이면 Strong Huygens’ principle이 성립한다.
2. 차원이 짝수인 경우 weak Huygens principle이 성립한다
라는 내용을 스타인 푸리에해석 책을 읽으면 볼 수 있는데
질문
1. 홀수 차원일때는 ball의 boundary에서의 value만을 고려해도 되는데, 짝수 차원에서는 ball의 전체 값들까지 전부 고려해야하는 이 차이가 왜 생기는지
(해를 직접 계산하여 이러한 차이가 있음은 알 수 있는데, 이러한 차이가 도대체 왜 생기는지)
2. 만약에 매질이 변하면서(물결파에서 수심이 변하는 등의 이유로) 파동의 속력이 달라지거나 해도 적당히 조건이 좋으면 weak/strong Huygens’ principle이 성립할 수 있을지, 그리고 그렇다면 그 조건은 무엇일지
3. Maximum principle은 elliptic equation이 가질 수 있는 성질인데, 이것처럼 Huygens’ principle도 적당히 모양이 예쁜 hyperbolic equation이면 가질 수 있는 성질일지, 그렇다면 그 조건은 무엇일지
가 질문입니다
- dc official App
1. 에반스 책에서 본거 같음. 대단한건 아니었다고 기억함. 파동방정식 풀때 radial part만 구하면 홀수에서는 r-ct에만 depend해서 구면 바운더리에서 나오고 짝수차원은 tail term 존재. 2. 그 속력이 바뀌는건 파동방정식이 아닌건데 plane wave solution이 소위 eigensolution이 어떻게 나오는지 봐야. 3. 그냥 그렇게 되는게 아님. max principle은 elliptic이면 되는거지만 huygens는 지금 여기만 해도 odd dim에서만 성립했음
짝수 차원일때 tail term이 생기는건 홀수 차원과 짝수 차원의 차이 때문일까요 그리고 3은 사실 weak Huygens’가 언제 생길 수 있는지를 질문 한 거긴 한데 정확한 조건은 모르겠지만 Klein-Gordon eqation이란 애도 weak Huygens는 성립한다는거 보면 대충 비슷하게 생긴 hyperbolic이면 weak Huygens는 성립할 것 같아요 결국은 한 점에서 발생한 파동이 적당히 bound되어서 퍼져나가야 하는거지만 이게 실제로 될 조건은 잘 모르겠는데 어차피 hyperbolic PDE연구할 것도 아니니까 여기까지만 고민해보려구요.. - dc App
Radial symmetry 있을 때 전개해보면 odd dim이랑 even dim이랑 차이가 있을 거예요. 아마도 (n-1)/d 나오는 term인가에서 n-1이 짝수여야 잘 풀릴 거예요. 실제로 2d sol 구할 땐 3d를 구하고나서 차원을 내리는 방식을 쓰는데 그 방식을 쓰면 구를 projection 하는 것처럼 돼서 2dim에서는 원이 꽉차게 되는 거예요.
궁금하시면 Evans ch2의 wave eq부분을 보세요.
사실 dimension decent를 쓰면 그런 이유로 저렇게 계산이 되니까 계산된 결과를 보면 저렇게 될 거라는걸 이미 알고는 있지만 결국 에반스의 설명을 봐도 홀수 차원이면 파면이 sharp하게 전달되지만, 짝수 차원이면 파동이 퍼지는 게 sharp하지 않아서 tail term이 남게된다고 적혀 있어요 이 차이가 무엇에서 기인하는가가 궁금했던건데 아마 차원에 따라 파동이 전달되는 그런 양상이 달라서 퍼지는게 sharp하게 나가지 않는 것 같은데 이건 이미 너무 기하학적으로 나간 것 같아서 그만 생각하려구요 - dc App
좀더 근본적인거에 대해서 궁금한거면 걍 실수다항식에서 even 차수는 복소근만 가지는 경우가 있고 odd 차수는 그런경우가 없고 걍 그 차이인디. 이거로부터 odd,even 차이가 eigenvector와도 엮이고 rotation이랑도 엮이고 그래서 significantly geometric differences 를 만드는거고.