[일반] 벡터미적분, 스토크스 정리에서 유향곡면이 뭐야?

[익명(122.36)]

스토크스 정리 배우는데

유향곡면의 면적분이랑 그 곡면을 둘러싸는 선적분이랑 관계를 말하는거 같은데

유향곡면의 기준이 머야?

x^2 + y^2 + z^2 = 1 이런 구도 유향곡면이야?

곡면이 닫혀있어도 유향곡면이야?

[수갤러 1(58.231)]

방향이란걸 정의 할 수 있는 곡면 방향을 정의할 수 없는 예는 뫼비우스의 띠

[뉴비(175.116)]

nonvanishing volume form 이 있거나 oriented atals가 잡히는거. 근데 미적 레벨이면 그냥 안과 바깥이 구분되는 곡면이라고 배우지 않나?

[갱생실패리카(lillollool)]

책에보통 매개 곡면에서 좌표벡터의 편미분의 크로스곱으로 법선벡터 구하는게 있을텐데 그게 0이아니도록 매개화할수있는경우에 유향곡면이라한다생각하면댐

[갱생실패리카(lillollool)]

구 경우는 경계가 공집합인 유향곡면으로 생각해도 문제없음

[갱생실패리카(lillollool)]

하나의 매개화로 곡면전체를 커버할수있는지 문제같은게 남아있긴하지만 미적할땐 딱히 생각할게 아님. 그냥 곡면을 얇은 선을 제외하고 한번만 커버하도록 매개변수의 범위를 설정해야한다 까지만 생각하면댐

[갱생실패리카(lillollool)]

미분가능 조건을 빼먹었숑ㅋ.ㅋ.ㅋ 미안하오.

[뉴비(175.116)]

그걸 증명하고 오리엔터블 혹은 오리엔티드 곡면이라 쓰기는 어려워보임

[뉴비(175.116)]

노말 벡터 구하는 방법은 뫼비우스 스트립에서도 성립하고 continuously flip이 되기 때문에 의미 있는 방법인지는 모르겠음. 파라미터라이즈 자체가 오리엔터블이 깨지는 예시라서. 그냥 위상적으로 공간 전체를 둘로 분할하는 n-1 dim 곡면은 oriented다 라고 주장하는게 더 간단할거 같은데 이게 위상적으로 반드시 오리엔티드 라고 주장하는 방법론을 설명해주는게 나을거 같아보임. 근데 난 위상쪽은 안배워서 모르겟음 그냥 직관적으로 그런거 같은데

[갱생실패리카(lillollool)]

그러네

[갱생실패리카(lillollool)]

난바보쓰레기야 미안합니다..