안녕하세요? 저 개념글에 해석학, 미분기하학 책을 종합추천한 그사람인데요 … 그동안 안와서 죄송해요. 요즘 영국 유학준비 땜에 바빴습니다. 그래서 글을 못 썼네요.
안녕하세요? 오늘은 제가 수학계의 로스트미디어를 추천할려고 해요. 제일 아래의 책, 미기 박사생이라면 한번쯤 들어봤을 겁니다.
요즘 Salamon& Robbin: introduction to differential geometry만 반복해서 읽다가 질려서 잡은 책인데, 오늘 한번 논문작성 시범 삼아서 아래의 책을 읽어보라고 추천드려 보겠습니다.
리만기하학 공부하다가 Eisenhart : Riemannian geometry 라는 쌉고전을 읽어봤는데, 확실히 퀄시험 대비에는 이만한 책이 없더라고요. 이게 솔직히 너무 고전이라서 잘 안쓸 겁니다 아마 …
내부를 보여드릴게요.
딱 봐도 고전미가 느껴지죠? 고전적인 계산으로 접근하는 탓에 실제로 계산훈련에 너무 좋습니다.
(연습문제도 매우 많아요. )
다들 리만기하학 자체가 “시점에 불변(좌표불변)인 양으로 기하적인 양(예를들어 길이, 넓이, 각도)을 정의하기 위함이란 말 들어봤죠? 이는 상대성 이론의 직관과도 매우 닮아있습니다. 수학적으로 시점에 불변인 양을 쓴다면 더욱 대역적인 데이터를 일관되게 뽑아낼 수 있다는 것도 한몫하죠.
* 이 책을 읽을때 주의사항 *
사람들이 곡률에 대해 오해하는 게 있는데, 리만 곡률 텐서가 왜 아름다운 정의냐면, 접속만 주어지면 얼마든지 정의할 수 있기 때문입니다. 예를 들면 카르탕 아다마르 정리(평행선 공리를 비틀어놓은 음의 곡률을 가진 다양체에 대한 사실. 곡률이 음이다. 즉, 쌍곡 기하학이 잘 작동하니까 쌍곡기하를 쓰면 된다는 걸 의미)를 일관되게 도출할 수 있으니, 그 본연의 의미가 흐려지지 않는 것이죠. (쌍곡/구면기하 중에 뭘 쓸지 판별)
가우스 곡률을 쓸려면 일반적인 다양체(유클리드 공간에 속하지 않은) 에서는 접원을 챙겨야 하는데 그럴 수 없잖습니까, 그래서 고안된 것이 리만 곡률이라 하는 보물입니다.
그리고 아래의 책을 함께 읽기를 추천드립니다.
에이센하트와 다르게 이 패턴을 따르는 책입니다.
1. 항상 실질적인 계산식으로 중요한 결론 직전의 식을 표현하고, 그 중에 섞인 항에다 가정이 대입되면 풀리는 방식으로 끌고가는 걸로 일관되게 전개됨. 특히나 그 항이 안 나오면 그냥 특정 값만 나오면 필요충분조건이라도 될수 있게 하는 특정 작용소(예: 내적)를 씌워서 거기에 대해서 독립항(예: 리만곡률이 포함된 항)에 가정을 대입해서 순식간에 유도함.
(ii) The derivative of each exponential map is length increasing, i.e.
and two tangent vectors v,v’∈TpM. Assume without loss of generality
that v= 0 and define the curve γ : R →M and the vector field X ∈Vect(γ)
along γ by
γ(t) := expp(tv), X(t) := ∂/∂s |s=0
expp(t(v+ sv’)) ∈Tγ(t)M (6.5.1)
for t∈R. Then
X(0) = 0, X(t) = dexpp(tv)tv, ∇X(0) = v= 0. (6.5.2)
To see this, define the map β : R2 →M by β(s,t) := expp(t(v+ sv)). It
satisfies β(0,t) = γ(t), ∂sβ(0,t) = X(t), β(s,0) = p, and ∂tβ(s,0) = v+ sv
for all s,t∈R. Hence ∇X(0) = ∇t∂sβ(0,0) = ∇s∂tβ(0,0) = v. Moreover,
the curve β(s,·) is a geodesic for every s, and hence Lemma 6.1.18 asserts
that X= ∂sβ(0,·) is a Jacobi field along γ, i.e.
∇∇X+ R(X,˙
γ) ˙ γ = 0.
It follows from Exercise 6.5.3 with ξ(t) := Φγ(0,t)X(t) that the function
[0,∞) →R : t→|X(t)|
is smooth and
d
dt t=0
|X(t)|= |∇X(0)|= |v|.
Moreover, for t>0, we have
d2
d
⟨X,∇X⟩
dt2 |X|=
⟨X,∇X⟩2
=
dt
|X|
|∇X|2 + ⟨X,∇∇X⟩
−
|X|
|X|^2|∇X|^2 −⟨X,∇X⟩^2 - ⟨X,R( ˙ γ,X) ˙ γ⟩/|X|
(6.5.4)
=
≥0.
Here the third equality follows from the fact that X is a Jacobi field along γ,
and the inequality follows from the nonpositive sectional curvature condition
in (i) and from the Cauchy–Schwarz inequality. Thus the second derivative
of the function [0,∞) →R : t →|X(t)|−t|v|is nonnegative; so its first
derivative is nondecreasing and it vanishes at t= 0; thus
|X(t)|−t|v|≥0
for every t≥0. In particular, for t= 1 we obtain
dexpp(v)v = |X(1)|≥|v|.
as claimed. Thus we have proved that (i) implies (ii).
(당황해서 나가지 말고 좀 참아줘 ㅠㅠㅠ)
얘가 성립하면 t →|X(t)|−t|v|is nonnegative; so its first
derivative is nondecreasing and it vanishes at t= 0; thus
|X(t)|−t|v|≥0
for every t≥0. In particular, for t= 1 we obtain
dexpp(v)v = |X(1)|≥|v|.
as claimed. Thus we have proved that (i) implies (ii). 이게 정확히 맞아 떨어집니다. 왜냐면 저 식의 2계미분이 이 식의 X 의 절댓값의 2계도함수란 게 핵심이에요.
근데 여기서 셋째 곡률항이 등장하는 세번째 등식이 납득이 안되죠? 그건
∇∇X = - R(X,˙γ) ˙ γ 바로 이 보조정리 입니다! 여기에 곡률이 음수란 사실을 대입하면 저 부등식이 나오죠.
이것처럼 생각보다 쉬운 책이고, 증명의 프레임워크가 매우 명확해요.
읽어주셔서 감사합니다!
;예고편)
다음에 리뷰할 책: Yau Shing tung: Lectures on differential geometry
개추 - dc App
지금까지 읽은 원서 몇 권 정도 됨? 경이롭네 - dc App
12권 정도? 딱히 막 테크트리 신경쓰는 편이 아니라서 그냥 처박는 주의야 ㅋㅋㅋㅋ 암튼 읽어줘서 고마우이
에이 글 올린거 보면 gtm급 원서만 100권은 넘을 것 같은데 ㅋㅋㅋ 너같은 애들이 교수하는건가 전공도 미분기하쪽이야? - dc App
엉. 그중에서 심플렉틱 위상수학 전공인데 솔직히 많아봐야 대학원 레벨은 24권? 그리 대단하진 않아.
아니야 넌 매우 대단함 좋은 글 땡큐 - dc App
ㅋㅋㅋㅋㅋ 읽어준 너도 고마워
뇨뷰식이가 돌아왔구나
시궁창의 한 줄기 빛이구나
오 개지리네 이건 무조건 개추..... 스크랩했다가 나중에 읽어야지 수고했다
ㅋㅋ 읽으면 뭐해 뭐라도 제대로 만들어낼순 있음?