답 (m-n)/(m+n)

풀이
좌표평면의 x축이 흰공 개수, y축이 검은공 개수를 나타낸다고 하면 찾는것은 (0,0)에서 (n,m)까지 가는 최단경로 중 직선 y=x를 (원점을 제외하고)지나지 않는 경로의 수이다. 먼저, 이 경로는 첫단계에 (0,1)을 지나야 한다. (0,1)에서 시작해서 (n,m)까지 가는 최단경로들 중 y=x를 지나는 것들의 집합을 S라 하자. S의 원소 a가 y=x와 처음 만나는 점을 p(a)라 하자. 새로운 경로 a*를 다음과 같이 정한다: a*의 경로는 p(a)를 지나기 전까지 a와 같고, p(a) 이후 a*의 경로는 a의 경로를 p(a)이후에 y=x기준으로 대칭시킨 것이다. (1,0)에서 (m,n)까지 가는 최단경로들의 집합을 S*라 하면 a를 a*로 보내는 함수는 S에서 S*로의 bijection이다. S*의 원소개수는 m+n-1Cm이다. 이를 이용하면 원하는 확률이 (m-n)/(m+n)임을 알수있다.

위와 같은 테크닉을 reflection principle이라 하는데 랜덤워크나 Brownian motion을 분석할때 아주 유용함