[일반] 선형대수학의 목적이 뭐임?

[익명(211.217)]

교과서를 앞에서부터 뒤에까지 대충 훑어 본 바

결국 핵심은 기저개념과 좌표계변환에의 응용, 아이겐 밸류, 아이겐 벡터 같은 것 같은데

원래 제목 "선형대수학"은 문자그대로 해석하면 "1차연립방정식의 풀이법"이고 벡터와는 상관없는 거였는데

어쩌다가 제목과 내용이 불일치하는 상태로 발전한 것임?

[Oo(175.208)]

더할 수 있고 상수배할 수 있는 대상을 연구할 이유가 생겼고 (예를 들어 속도, 힘 같은 거), 이런 대상들 사이의 관계를 살펴야겠고, 당연히 덧셈과 상수배를 보존하는 대응관계가 중요하고, 이에 따라 선형사상을 공주했어야 했어. 이게 선형대수야. 선형사상에 대한 공부. 그런데 선형사상이 행렬로 표현되네? 그러면 연립방정식의 해는 그저 선형사상의 역사상일뿐

[Oo(175.208)]

그런데 휘어진 공간을 연구하게 되었고(비유클리드 기하학, 리만다양체, 상대성이론), 그냥은 어려워 접선 같은 접공간을 공부하려했는데, 이게 벡터공간이네? 휘어진 공간 사이에 사상이 있으면 접공간 사이에도 사상이 생기는데, 이게 선령사상이네? 선형대수가 또 등장하는 이유.

[익명(211.217)]

그러면 벡터공간의 사상 즉 선형사상을 연구하는 와중에 그 것이 알고보니 행렬이고 그 것이 하필 "선형"방정식의 풀이법과 관련있다는 것은 우연임?

[ㅆㅅ(siiot)]

우연은 아님. 비선형적인 대상은 다루기가 까다로운 반면 선형적인 대상은 다루기도 쉽고 계산도 쉬워서, 선형대수학의 아이디어를 쓸 수 있게끔 이론을 발전시켜 나간 것으로도 볼 수 있음

[익명(118.235)]

대수학=방정식풀이 이렇게 생각하는거 같은데 대수학은 훨씬 더 넓다

[익명(211.217)]

전공수학 들어가면 군환체 나 갈루아 같은 "추상대수학"이 있다는 것은 알고 있음. 그런데 선형대수학은 그것도 아니니까 하는 말임. 그냥 "군환체처럼 벡터공간의 대수구조를 연구하는 것다"라고 축소하면 제목을 "벡터대수학"라고 바꿔야하는 것 아닌지?

[익명(118.235)]

벡터공간을 연구하는게 아니라 벡터공간 “사이의” “선형사상”을 연구하니 선형대수

[Oo(175.208)]

ㄴ"군"이나 "환", "체"란 이름은 괜찮고? 그 기원이 어디서부터인지에서 이름이 붙은 건데, 그게 뭐 그리 문제인지 모르겠다. 심지어 대수학은 방정식 풀 때 수 대신에 문자 넣어 계산하던 때 붙여진 이름인데?

[익명(118.235)]

방정식 해를 구하는거는 선형사상의 성질중 커널을 보는거고 그러니 선형대수에 포함되지만 고유값 고유벡터도 그 사상의 성질에 포함되니 이것도 선형대수의 범위에 포함되는것

[익명(211.217)]

추가질문: 벡터를 "더할 수 있고 상수배할 수 있는 대상"이라고 정의를 하면 가령 정수도 더할 수 있고 상수배할 수 있으나 벡터는 아니니까 추상적 정의 이전에 "크기와 방향을 갖는 물리량"이랄까 다른 구체적 정의가 먼저 있어야 되는 것 아닌지? 그 정의는 애당초 "선형성"과는 관련 없는 것 아닌지?

[Oo(175.208)]

"상수"를 사칙연산할 수 있는 집합(즉, 체)로 제약하면 선형대수학이고, 상수를 그저 덧셈뺌셈곱셈할 수 있는 (나눗셈은 보통 안 되는) 집합으로 제약하면 그게 모듈 이론이야. 정수는 모듈 이론으로도 해석 가능해.

[Oo(175.208)]

그리고 "선형성"을 뭐라 생각하는지에 따라 다르겠지? 보통 일차식을 말하기도 하고, 평평하다는 뜻으로 쓰기도 해. 딱 선형대수네.

[익명(211.217)]

내가 근본적으로 궁금한 것은 이것임: 수학을 대수,기하,해석으로 나눈다면 대학수준 대수학안에는 여러 내용들이 있을 것인데 그것을 순한맛(?)부터 매운맛까지 순차적으로 정리가 가능한지는 모르겠으나 "선형사상"이라는 것을 따로 떼어서 가르치는 이유를 모르겠다는 것. 까놓고 "내 전공이 선형대수다"라고 말하는 교수는 없을 것 아닌가? 물리학과에서 "내 전공이 양자역학이다"라고 말하는 사람이 없듯.

[수갤러 1(114.207)]

벡터공간의 구조는 대수적으론 너무 자명한데 또 그에 비해 이론, 응용은 풍부하니까 가르치는것 같음. 대수 기하 해석 어디서나 아무렇지 않게 사용하기도 하고, 실제로 사람이 제대로 풀 수 있는 유일한 문제는 선형대수(+미적 조합론)밖에 없다는 얘기도 있음.

[익명(118.235)]

선형대수가 가장 순한맛이 맞기 때문

[Oo(175.208)]

선형대수학은 대수학 범주에 들어가지만 3학년 대수학전공과목에 넣어 가르치기엔 그 범위와 양이 넘 넓어. 선형사상, 행렬표현, 대각화 외에도 내적, norm 등도 배워야 해. 왜냐면 그래야 3학년 미분기하학에서 휘어진 공간에서 길이재고 적분하고 그럴 수 있으니까.

[Oo(175.208)]

거기에 더해서 요즘엔 svd와 같은 행렬분해이론이 빅데이터 같은 IT에서 많이 쓰여. 그래서 학부 2학년 과목으로서 저런 것들 포함해 많이 가르치지. 그래야 타과 학생들도 수업 들으니까. 남의 과 3학년 전공 그냥 듣는 애들 거의 없잖아?

[Oo(175.208)]

내 생각엔 네가 생각하는 선형대수학 교과의 내용이 너무 작은 거 같다. 아이겐밸류에서 멈추면 어떡해. 내적은 어디가고 norm은 어디에 버렸냐. SVD는 또 어디서 잃어버린거야.

[Oo(175.208)]

그리고 교수 중에 내 전공은 미적분학이다 하는 사람 없지? 선대는 미적과 같은 과목이야. 이후 거의 모든 과목의 기초라고.

[전기도둑(cough2882)]

미분이든 적분이든 선형사상은 정말 많은데 다루는 대상을 본인이 학습한 것이 다라고 생각하는 건 아닌지 - dc App

[익명(211.36)]

벡터공간과 그 토픽들을 요리조리 뜯어보는데 단순히 대수적이라기엔 다른 분야와 연계되는 경우도 많고 쉬운 편이고 방대하고 쓰님새가 많아서 따로 빼는거

[익명(211.217)]

그러면 수학과 전공에서 대수관련 과목을 2학년부터 4학년까지 이어서 듣는다고 가정하면 선형대수를 대수 I 이라고 표현해도 괜찮다는 뜻? 제목에 "선형"이 있어서 뭔가 특별한 것처럼 느껴져서 묻는 것임.

[익명(211.217)]

정수론을 따로 빼는 것은 이해가 감. 그러나 선형대수는 이해가 안감

[수갤러 2(106.101)]

보통 현대대수 끝에가서야 선대를 왜 하는지 이해하고 카타르시스를 느낄수 있다고 하지 않나 - dc App