[대학교이상] 연결성 질문

[익명(14.34)]

S가 연결인지 아닌지 파악하기위해 어떤 방법을 시도해야할지 문제 해결에 도움이 될만한 힌트가 있으시면 도움 부탁드립니다 !  f(x,y,z,w)=x^2+y^2-z^2-w^2(f:R^4->R) f는 연속함수와 연결의 성질을 이용해서 해결하려 해도 1이 R에서 연결이어서 이 방법은 안되는 것 같습니다. 

[저택와라시(zashikiwarashi)]

1. 일단 p=(1,0,0,0)을 잡기 2. 임의의 z, w를 잡기. 3. 다음 조건을 만족하는 a,b를 찾을 수 있는지 생각 “S위의 점 (a,b, z,w)와 (1,0,0,0)이 path connected” 4. 임의의 S위의 점 (x,y,z,w)와 방금 이야기한 점 (a,b, z,w)는 path connected인지 생각해보기

[저택와라시(zashikiwarashi)]

유클리드 공간에서 연속성을 다루는 문제의 경우는 적당히 곡선을 잡아서 그 곡선 위에서 살살살 점을 움직여서 path connected를 확인하는 방법도 유용하답니다

[ㅆㅅ(siiot)]

고정된 z, w에 대해서 {(x,y)|x^2+y^2-z^2-w^2=1}은 원이니까 connected, 고정된 x, y에 대해서 {(z,w)|x^2+y^2-z^2-w^2=1}은 empty거나 connected라는 거 이용하면 될 듯?

[ㅆㅅ(siiot)]

윗댓이랑 같거나 비슷한 접근임

[익명(14.34)]

두 집합이 conmected인 것은 이해가 됐는데 이 정보를 이용해서 어떻게 S가 connected임을 보일 수 있는지 좀 더 자세히 알려주실 수 있으신가요?? 두 집합의 교집합은 고정된{( x,y,z,w)|x^2+y^2-z^2-w^2=1}

[수갤러 1(39.7)]

어렵게들 푸네 xy rt 극좌표변환, zw su 극좌표변환하면 2차워뉴쌍곡선의 한쪽 가지의 반이 4차원 공간에 매장. connectedness는 보존됨 끝.

[수갤러 2(118.221)]

x^2+y^2-z^2-w^2=r^2-s^2=1( xy rt극좌표변환 zw su극좌표변환 ) 인데 질문 1: r^2-s^2=1에서(r>0 s>0이기 때문에 한쪽가지의 반만 표현된다는것이죠?? 질문2 : 4차원 공간에 매장 된다는 것이 구체적으로 이해가 잘 안됩니다 .

[수갤러 2(118.221)]

f:(r,s)->(x,y,z,w) f(r,s)=x^2+y^2-z^2-w^2 (x=rcost /y=rsint /z=scosu/w=ssinu) 로 놓고 r과 s는 r^2-s^2=1(r과 s는 양수) 해서 R^2->R^4로 가는 매장함수라고 생각하면 될까요??

[수갤러 3(39.7)]

3차원으로 내려? 그래도 상상은 해봐야 늘지 r=sqrt(1+s^2), 그럼 곡선 (r,s)는 2차원 공간에 매장된 1차원 양의 실직선 [0, \inf)라고 봐도 무방. 이제 전체 함수는 실직선과 [0, 2pi)^2의 product, 끝없는 메로나 모양이네. 그럼 connected but not compact

[수갤러 2(118.221)]

@수갤러3(39.7) 끝없는 메로나 표현 좋습니다. 도움주셔서 감사합니다