유한차원 벡터공간 v w에서 v가 n차원 w가 m차원이면
L(v,w) 벡터공간의 차원수는
T(v)=a_1T(v_1) + … + a_nT(v_n)이고,
각 T(v_i)= w의 기저의 선형결합
으로 표현되니까
n*m 차원이 되는데요.
그러면 이제 유한->유한이 아닌
무한 ->유한 또는 유한 ->무한 또는 무한->무한 일때를 생각해보면
각각
알레프제로*m개, n*알레프제로개, 알레프제로*알레프제로개
가 되어야 할거 같은데
챗지피티에 물어보니 갑자기 셈법을 바꿔서
(공역 집합의 크기)^(정의역 집합의 크기) 식(임의의 모든 가능함수를 세는 방식)으로
예를 들면 무한차원에서 체로 가는 선형범함수의 차원의 크기를
F^알레프제로라고 답해주더라고요.
왜 이렇게 되는건지 이해가 안갑니다.
제 방식이 맞는거 아닌가요?
1. 무한 집합 크기 ≠ 알레프 0
2. 유한 차원에서 정확히는 dim(dual(V)) * dim(W) 임.
dim V가 무한이면 |F|^|dim V|=dim(dual(V)) > dim(V) 라서 계산이 다름.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space#Infinite-dimensional_case
나 저거 정확히 기억은 안나는데 hom(v,w)= v* tensorprod w 되는걸로 알고 있는데 맞나? 근데 선대 때랑 대수에서 배운거랑 정확히 매칭이 안되서 헷갈리는데 선대에서는 결국 무족너 basis 성립하니 map을 그냥 basis 써서 tensor로 피면 bijection이 잘 정의. 근데 일반적인 모듈은 basis 그러니까 generate 안되는 free 아닌 module도 있는데 그래도 저기 naturality가 되는거임? 식으로는 무조건 되야 할거 같은데 대응되는 tensor를 바로 못찾겠어서 헷갈림. 벡터스페이스 외에도 항상 되는 natural 임? 아니면 그냥 베이시스 잡혀야만임?
vector space 에서도 일반적으론 아님 finite dim 일때는 성립
https://math.stackexchange.com/questions/573378/u-otimes-v-versus-lu-v-for-infinite-dimensional-spaces/573416#573416