[일반] 대수학의 기본정리가 성립하는 이유 이렇게 이해하면 되나요?

[호호호히히히(nise1005)]

P(z)를 함수 복소평면 C->복소평면 C‘로 보면(복소수가 체이므로)

복소평면에서 복소평면으로 옮기는 함수이고

이건 연속인 함수임

따라서 오일러 식을 써서 P(z)를 복소평면에 나타내면

C’에서 정의역(z)이 변함에 따라 “연속적으로” 모든 C’ 위의 점을 훑고지나감. 따라서 P(z)는 C’에서 0점을 지나게 되어 있음.

이렇게 이해하면 되나요?

[익명(discuss0270)]

surjective map인게 중요한건데 그거에 관한 논의는 전혀 없네

[익명(discuss0270)]

이해하는 과정에서 P의 연속성 말고는 사용한게 없는데 그러면 지수함수 exp(z)도 같은 논리가 적용되어야 함. 물론 얘는 zero를 가지지 않으니 논증이 잘못되었다는 거.

[호호호히히히(nise1005)]

전사 부분은 “모든 C’ 위의 점을 훑고 지나감”에 표현된거 같습니다. 제가 아직 복소해석 공부는 안하고 선대 복습 중인데 부록에 있길래 인타넷 뒤져서 찾아보고 이해한 거를 적어봤습니다. 나중에 복소 해석하면서 깊게 봐야할거 같긴 합니다.

[익명(episode5899)]

모든 점을 훑고 지나간다는게 니 논증의 핵심인데 그걸 안보이면 안되지 - dc App

[호호호히히히(nise1005)]

아 논증을 하고자 글을 쓴게 아니고, 대수학 기본정리의 증명 과정의 요지를 제가 저렇게 이해했는데 이해한게 맞나 하고 적어본겁니다. 제가 생략한게 있는데 위 p(z)는 일단 다항식이고 p(z)는 z가 커짐에 따라 z^n가 지배적으로 커져서 전사인거 같습니다.

[익명(223.39)]

님 말이 맞음 그게 가우스 버전 대수학의 기본정리임 대강 그렇게 이해해도 됨

[익명(223.39)]

그리고 복소해석에선 보통 리우빌 버전의 증명을 배울 거임 가우스가 한 증명을 찾아보고 싶으면 인터넷 검색 ㄱㄱ

[호호호히히히(nise1005)]

저는
https://m.terms.naver.com/entry.naver?docId=3574277&cid=58944&categoryId=58970
여기
글을 보고 저렇게 이해했습니다

[뉴비(175.116)]

이게 정확한건지 모르겠는데? 글에서 누락된건지는 몰라도 대수학 기본정리가 P(z)=0인 해 하나만 찾으면 귀납적으로 되는거고 P(z)=c 가 모든 c에 대해서 근을 가지는걸로 보여도 되니 surj을 보이면 되는건데 image가 complex 전체가 된다는, 즉 모든 값을 가진다는걸로 얻을 수 있음. 저 글에서는 딱히 복소해석을 사용하지를 않았고 정확하게 증명이 되었는지도 모르겠음. 전혀아니다고보임

[뉴비(175.116)]

저 증명은 그냥 elementary하게 최대한 설명하려는거 뿐이지 실제 증명인지는 모르겠음. 복소의 특징을 하나도 쓰지 않았기 때문임. 복소 배우는 과정 상에서는 그냥 위에서 말한 제로 없다고 가정해서 1/p 에 대해서 리우빌 쓰던가. 이미 배우고 난 상태면 걍 바로 생각나느게 존나 크게 잡고 rouche's argt 쓰는거 말고는 생각안남

[갱생실패리카(lillollool)]

훑고지난다<<<가 모든점일 필요는없음. 호모토피 이용한 증명도한번 찾아보샘