평소에는 신경도 안 쓰고 있던 사소한 내용에 갑자기 고민이 생겨서 물어봄
뭔상관이냐 하고 넘기면 될 것 같기도 한데
notation을 엄밀하게 다루려다 보니 갑자기 찜찜한 부분이 생겨서 그럼...
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일단 무슨 상황이냐면
레이텍으로 대수 기초개념 정리노트를 만들고 있었거든
group과 module의 direct sum이 뭔지를 쓰고 있었는데
글 구성이 이럼
1번. 먼저 아벨군의 direct sum이 뭔지 설명 와바박 함
아벨군 G_1과 G_2가 잇으면
그 direct sum G_1⊕G_2는 이러이러해서 이러이러하게 정의된답니다~는 내용을 씀
2번. 그 다음에 R-module의 direct sum을 정의할 차례임
이건 어떻게 썼냐면
R-module M_1과 M_2가 있으면
아벨군으로 취급해서 아까처럼 M_1⊕M_2이라는 아벨군을 얻을 수가 있고요
이제 저 아벨군에다가 스칼라곱을 요래요래 조래조래 정의해준 게
R-module M_1과 M_2의 direct sum이랍니다~~~라고 씀
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근데 저렇게 적고나서 갑자기 고민에 빠졌는데
Abelian group의 category에서 정의되는 ⊕과
R-module 의 category에서 정의되는 ⊕는 엄연히 다른 거자나
그래서 저런식으로 써도 되는건지 고민이 되기 시작함
그래서 저 둘의 미세한 차이를 부각은 시켜줘여하나 싶어서
2번. 아래에
“이렇게 construct된 module은 group일 때처럼 ⊕라는 기호를 써서 M_1⊕M_2으로 나타낸답니다”
라는 내용을 한줄 추가해야 하나 고민이 생김
이러면 적어도 R-module에서 쓰는 ⊕가 아벨군의 ⊕과 살짝 다르다는 뉘앙스 정도는 줄 수 잇거든
저걸 엄격하게 구분해야 되는지 고민되서 쉽사리 결론을 못 내는중...
굳이 저거 추가할 필요있나 사족이다vs뭔상관임 안써도 다 알아먹는다
사이에서 갈등중임
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물론 R이 Z인 경우는 아벨군이나 Z-module이나 똑같으니 의미 차이가 없을 것 같긴 한데
General한 R에 대해서는 어떨지 모르것음...
질문이 이해되지 않음. 집합으로서는 그저 순서쌍이잖아. 카테고리 이론에서 무슨 유니버셜 프라퍼티로 정의하겠으나, 업투 아이소모르픽하게 유일할거고, 실제 존재성은 그저 순서쌍에 덧셈과 상수배 준걸로 할거잖아. 뭐가 서로 미묘하게 다르다는거지?
그니까 모듈의 dir sum을 정의할 때 이렇게 정의를 함 1. 그 두 module을 먼저 아벨군으로 봄 2. 그다음에 M_1⊕M_2라는 아벨군을 얻음 3. 그다음에 M_1⊕M_2에 스칼라곱을 적절히 정의해준 게 module의 dir sum이다 -------- 이렇게 정의하고 난 뒤에 별다른 코멘트 없이 R-module들 사이에서 M_1⊕M_2라는 기호를 맘대로 쓰는게 문제가 되느냐 안 되느냐가 고민임... ------- 당연히 module의 dir sum을 저렇게 정의하는 건 전혀 문제가 없음... dir sum은 분명히 정의가 된 상태임 제 말은 ⊕라는 “기호” 가 아직 module에 대해서는 온전히 정의가 안 된게 아니냐는 거임 아직 Ab group에 대해서만 정의된 상태가 아닌가 싶어서
“앞으로 ⊕라는 기호를 모듈 사이에서 쓸 때는 저렇게 construct된 모듈을 의미한다” 라는 말을 굳이 사족을 달아 써줘야 하는지 필요없는지에 관한 고민임
그니까 dir sum개념이 제대로 정의가 안됐나? 에 관한 고민이 아니라... ⊕라는 기호를 module사이에서 쓸 때 어떤 의미로 쓰이는지 설명을 충분히 안 했나? 에 관한 고민인거임
왜냐하면 저 construct과정에서 사용한 ⊕는 어디까지나 아벨군의 dir sum을 denote하는 기호로서 쓴 거기 때문에... 저 construction 이 끝난 뒤에 “저 기호는 이제부터 모듈의 dir sum을 denote하는 데에도 쓰인다“ 는 사족을 달아줘야 하는가? 아니면 굳이 안써도 상관없는가? 라는 고민임
괜한 고민임. 자세히 꼼꼼히 쓴다고 좋은 노트가 되는 게 아님. 모듈 다룰 땐 모듈의 다이렉트 섬이겠지라고 다들 그렇게 생각하고 넘어감. 사족도 필요 없음.
ㄱㅅㄱㅅ
헷갈린거 아님? 나도 이 댓글에 한표인게 set (유한개 곱 한정), group,모듈 벡터스페이스에서 다이렉트 섬은 동일하고 아마 거의 다 코프로덕트 되는거 아님? 코프로덕트라는 기저의 성질과 목적을 생략하더라도 저 경우에 모두 동일하지 않나? 카테시안 프로덕트이고 거기에 새로 성질이 더해지거 뿐이지 정의 자체가 동등한데 이름을 굳이 다르게 해야할지는 의문 쓴이가 지적한 아벨리안 그룹이 zmodule이어서 그런것도 있지만 abelian group에서 정의한 것과 rmodule에서 ring action이 새로 추가되는 뿐인데 기본 있는 다이렉트섬 구조에 하나를 더 얹는 것이라 이름을 달리할 필요가 있을지는 모르겟음. \sum 에 다가 굳이 코프로덕트를 설명 안하려고 해서인것도 같음
기호를 혼용하는 거야 수학에서 흔한 일이니 사족이기는 한데, 그래도 저런 사족을 달아주면 읽는 사람은 "이해하기 쉽고 친절하게 잘 썼다"라고 생각하게 돼.
넹
"By abuse of notation"
아 그럼 abuse of notation이라는 말을 써서라도 한줄정도는 사족을 달아주는게 ㄱㅊ으려나
카테고리이론 배워서 답변달러 온다 기다려라
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
쓰레기같은 고민하지 말고 자연스럽게 abelian category 먼저 소개시켜버리자.
보고있으려니 좀 화가 나네 본인이 construct하는 과정에서 차이를 느끼는 것도 좋고 노트를 자세하게 쓰고싶은 것도 알겠는데 지금 고민하는건 너무 과함
이 노트를 읽게 될 사람도 다 사람이잖아 유치원생이 아니라 모듈 둘을 잠시 forgetful functor 취해서 아벨 군으로 보고 디랙 섬을 하는 건지 아닌지 항상 고민해가며 ⊕ 기호를 해석한다고 생각해?
@수갤러2(223.39) 카테고리로 질문했으니까 카테고리로 예를 들면 두 카테고리 C와 D가 있고 functor F:C→D가 있고 C의 object X, Y가 있을 때 Hom(X, Y)라고 적혀있으면 Hom_C(X, Y)를 생각할까 굳이 Hom_D(F(X), F(Y))를 생각할까?
언젠가는 범주가 다른 두 대상의 연산을 자연스럽게 한쪽으로 몰아넣어서 취급하는 표기도 다루겠지만 그건 범주가 다를 때고 같은 범주 안에 있는 두 대상이 그 안에서 연산도 되는 경우인데 굳이 둘 다 다른 범주로 넘겨서 생각하는 일은 보통 떠올리지 않음
@수갤러2(223.39) construction을 두 번 보여줬다면 두 범주에서 각각 보여준 것일 테니까 차이를 보여주기에 충분했다고 보이고 같은 기호가 두 해석이 다 가능할 때 어느 쪽이 자연스러운 해석인지도 처음 어느 범주의 대상으로 소개했는지를 따라갈테니 자명해서 "미세한 차이"든 "앞으로 ..."든 말 그대로 사족임
아래 댓글처럼 set theoretic하게 같은 걸 굳이 구분할 이유가 없음
어차피 나중에 일반적인 category에서의 direct sum 정의할 거 아님? 그럼 더더욱 구분해야 할 이유가 없음