? 문제: 비선형 파동방정식과 솔리톤 해


3+1 차원 시공간에서 다음과 같은 비선형 Klein-Gordon 방정식을 고려하자:


    □φ + dV/dφ = 0,     (□는 d^2/dt^2 - ∇^2)


여기서 φ(t, x)는 실수 스칼라장이고 퍼텐셜 V(φ)는 다음과 같다:


    V(φ) = (λ/4)(φ² - v²)²


이 퍼텐셜은 두 개의 안정한 진공을 가지는 이른바 φ⁴ 이론이다.


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(1) [정적 해 분석]


1차원(x축)에서 시간에 독립적인 정적 해 φ(x)를 가정하자. 즉, φ = φ(x), ∂φ/∂t = 0.

이때 운동 방정식을 유도하고, 다음 조건을 만족하는 해 φ(x)를 구하시오:


    lim_{x→−∞} φ(x) = −v,

    lim_{x→∞} φ(x) = v


힌트: 정적 해는 솔리톤(kink) 형상을 가질 수 있다.


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(2) [에너지 계산]


정적 해 φ(x)에 대한 에너지 E는 다음과 같이 정의된다:


    E = ∫_{−∞}^{∞} dx [ (1/2)(dφ/dx)² + V(φ) ]


위 (1)에서 구한 해를 이용하여 E를 계산하시오.


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(3) [안정성 분석 - 선택 문제]


작은 섭동 φ(x) → φ(x) + η(x, t)를 도입하여 해의 안정성을 선형 근사에서 분석하시오.

섭동 η(x, t)의 시간 의존성을 포함하는 방정식을 유도하고, η(x, t)의 정상파 해를 찾아 그 스펙트럼을 해석하시오.