선형대수 공부중인데
eigenvalue, 최소다항식, 불변부분공간정도만 보고
내적공간 gram-schmidt정도까지 했음.
고윳값 처음 배울때 계산이 편해진다 말고 딱히 motivation을 설명해주지도 않고 굳이 수학적인 의미를 찾자면
한 operator를 기저에 따라 굉장히 다양하게 표현할수 있는데
그 수많은 표현에서도 모두 뽑아낼수 있는 변하지 않는 어떤 양이 있다? 그게 특성/최소다항식이다...
근데 왜하는지 모르겠어서 재미가 없었는데
스펙트럼정리정도까지 보면 감이 오려나?
굉장히 많은 이유가 있는데 그냥 선형대수학의 관점에서만 보자면 일단 jordan canonical form과 관련이 깊다고 생각함. 대수에서는 대상을 어떻게 분류할 것인가(구조적으로 같은 것은 같은 것으로 쳐서)가 중요한 문제인데 이걸 해결하기 위해서 jordan canonical form이 필요하고 이걸 위해서 대각화가 필요하다. 정도로 이해하면 좋을 것 같음 그리고 그 외의 응용으로 봐도 굉장히 중요한데 일단 대각화를 한다는 것 자체가 행렬의 exponential을 계산하기 쉬워진다는 거니까 그 자체로도 의미가 있고 그 외에도 singular value decomposition은 데이터 과학에서도 굉장히 중요하고 함수공간에서 미분이라는 선형연산자의 고유값도 중요한 의미를 가지는데
일단 선형대수학 내부적으로 의미를 따지자면 처음에 말한 이유가 배우는 가장 중요한 이유가 아닐까 싶다. 아 그리고 그거 외에도 스칼라배만 된다는 건 생각보다 유용한게 eigenspace위의 벡터들의 선형변환이 굉장히 설명하기가 쉬워짐(고유값만큼만 곱해주면 끝나니까) 그래서 그런 의미에서도 의미는 있음. 그 외에도 응용에도 뭐가 많은데 음 막상 말하려니까 데이터 과학말고는 생각이 안 나는데 뭐 공학이나 과학에서도 쓰이고 그냥 모델링 하는 경우에 이래 저래 많이 쓰이기도 하고 확률 행렬 같은 곳에서도 쓰이고 뭐 그렇다. 이론적 쓸모 말고도 그 자체로 응용이 많이 있어서 쓸모가 있는 대상임
@수갤러1(121.146) 오 그렇군요 응용을 몰라서 안와닿는거였군..
사실 응용을 모르더라도 고유값은 쓸모가 있는게 아래댓에도 있고, 나도 말했지만 벡터를 고유벡터의 선형결합으로 표현하면 그 벡터의 선형변환은 고유벡터의 성질에 의해서 굉장히 쉽게 구할 수 있음. 이 사실이 생각보다 많이 편리함. 응용에서 대각화가 의미가 있는 이유도 고유벡터로 분해하지 않으면 그 연산자를 분석하기가 너무 어려운데 고유벡터로 분해해서 관찰하면 연산자를 분석하기가 쉬우니까. 그래도 어떻게 응용되는지를 알면 왜 배워야 할지가 좀 더 느껴지기는 함
복잡하게 생긴 operator를 다루는 것보다 그냥 좌표별로 1배 2배 3배 이런 식으로 작용하는 operator를 다루는게 훨씬 편하겠지? 좌표를 잘 돌려서 이런 쉬운 operator로 만들 수 있는 게 정확하게 diagonalizable한 것들이고 이때 좌표에 해당하는 것들이 eigenvector임
det, trace,
https://proofwiki.org/wiki/Primary_Decomposition_Theorem
, .. - dc App
그걸 먼저 설명하는 초급 선대 책이 Axler 책인데 이상하게도 다들 싫어하더라
행렬이라는게 어떤 기저에 대한 표현이라 기저에 의존하는 표현인데 거기서부터 기저에 의존하지 않는 본질적인 성질을 뽑아내는 느낌이라
굿