[일반] 테일러급수 아이디어는 이렇게 봐도 됨?

[나블라(timber5517)]

어떤 x값 근방에서 power set으로 볼 수 있지 않을까? 라는 생각을 해서 수식으로 나타냄 —> 전개해봤더니 모양이 부분적분 시행했을때랑 비슷함 --> 그래서 원래함수에서 부분적분 계속 시행해보니 꼭 근방이 아니라 실수 전체구간이여도 찌꺼기가 0으로 수렴만한다면 실수전체에서 함수자체를 멱급수로 봐도 되더라

이 메커니즘임?

[익명(episode5899)]

부분적분이 왜나옴? - dc App

[나블라(timber5517)]

보통 부분적분으로 유도 하잖아

[익명(episode5899)]

대부분 해석학 책은 미분 다음에 적분을 다루니 적분 없이 테일러 급수를 생각하는 게 일반적이지 - dc App

[나블라(timber5517)]

브룩 테일러는 뭐로증명함? 엡델은 테일러 죽고 체계화된걸로 아는데

[Affine(algebra500)]

그냥 다항식으로 근사를 존나하면 어떻게될까? 로 보는게 자연스러움

[Affine(algebra500)]

함수 f를 다항식 p 로 근사하려고 하는데, 점하나 x=a 잡고, f의 그 점에서의 함숫값, 도함수값, 도도함수값, 도도도함수값을 p와 같게 맞춰보려는거지

[Affine(algebra500)]

e_n(x)=x^n/n! 라는 다항식을 n번 미분하면 1이 된다는 아이디어를 이용해서 P = f(a)+f'(a)e_1 + f''(a) e_2 + f'''(a)e_3 +..... 라는 다항식을 생각해볼 수 있는거지 이 근사가 실제로 f와 잘 들어맞느냐? 라는 질문에 답하기위해 이제 균등수렴이니 수렴반경이니 해석함수니 이런얘기 해야할거고

[나블라(timber5517)]

a근방에 무한히 근사되는건 끼워맞춰서 알 수 있겠지만 그게 모든 정의역에서 근사가 된다는 이유가 되진 않는거같아서 어색했음

[Affine(algebra500)]

어색한게 맞음. 테일러급수가 설령 수렴반경을 갖더라도 반경안에서 원래 함수와 일치하진 않을수도 있음. 그게 되는 함수를 해석함수라고함. 모든점에서 미분가능하지만 비해석적인 함수 검색하면 바로나올것

[Affine(algebra500)]

네말대로 테일러급수라는건 f의 국소적인 성질, x=a 에서의 함숫값, 도함수값, 도도함수값.... 을 모아서 만든 급수인데, 고작 한 점의 정보만 일치시켰다고 함수가 유일하게 결정된단건 놀라운(이상한) 일이지 근데 지금까지는 정의역을 실수로 가정하고 한 말임. 정의역이 실수일땐 말한대로 미분가능한데도 해석적이진 않은 함수가 존재하지만 정의역이 복소수일땐 주어진 함수가 미분가능하면 즉시 해석적임. 이걸 두고 복소수의 성질이 더 깔끔하다고 말할수도 있고, 반대로 함수가 복소미분가능하단 조건은 실수미분가능이라는 조건보다 더 만족하기 어렵다고 할 수 있고